矩陣分析與多元統計 線性空間與線性變換2

• 線性映射
• • 矩陣的等價
• 線性映射的像空間與核空間

線性映射

$V_1,V_2$是數域$F$上的兩個線性空間，$\mathcal{A}:V_1\to V_2$是線性映射，如果：$?{\alpha }_1,{\alpha }_2\in V_1$，$\lambda \in F$，

$\mathcal{A}({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\mathcal{A}{\alpha }_1+\mathcal{A}{\alpha }_2$

$\mathcal{A}(\lambda {\alpha }_1)=\lambda \mathcal{A}{\alpha }_1$

假設${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$是$V_1$的一組基，${\beta }_1,?,{\beta }_m$是$V_2$的一組基，稱$A\in F^{m\times n}$是線性映射$\mathcal{A}$在基${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$與${\beta }_1,?,{\beta }_m$下的表示，如果
$$\mathcal{A}({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)=({\beta }_1,?,{\beta }_m)A$$
在給定兩組基時，線性映射和它的矩陣表示是一一對應的（證明可以參考史榮昌的矩陣分析第三版定理1.4.1）。

矩陣的等價

假設${\alpha }_1^{\prime },?,{\alpha }_n^{\prime }$是$V_1$的另一組基，從${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$到這組基的過渡矩陣是$P$；${\beta }_1^{\prime },?,{\beta }_m^{\prime }$是$V_2$的另一組基，從${\beta }_1,?,{\beta }_m$到這組基的過渡矩陣是$Q$，如果$\mathcal{A}$在${\alpha }_1^{\prime },?,{\alpha }_n^{\prime }$和${\beta }_1^{\prime },?,{\beta }_m^{\prime }$下的矩陣表示為$B$，則
$$B=Q^{?1}AP$$
這個等式的證明就是把過渡矩陣和矩陣表示的定義敘述一遍即可，等式兩邊表達的是同一個向量的等價表示方法而已，此時稱矩陣$A$和矩陣$B$等價。

線性映射的像空間與核空間

定義$\mathcal{A}(V_1)=\{\beta =\mathcal{A}(\alpha )\in V_2:?\alpha \in V_1\}$為線性映射的像空間，記為$R(\mathcal{A})$，定義線性映射的秩為
$$rank(\mathcal{A})=\dim R(\mathcal{A})$$
定義線性映射的核空間為
$$N(\mathcal{A})=\{\alpha \in V_1:\mathcal{A}(\alpha )=0\in V_2\}$$
稱$\dim N(\mathcal{A})$為線性映射的零度。像空間是$V_2$的線性子空間，核空間是$V_1$的線性子空間。

例1.2.1 證明$rank(\mathcal{A})=rank(A)$，$A$是任意矩陣表示

關于核空間與像空間有一個很重要的關系：
$$\dim R(\mathcal{A})+\dim N(\mathcal{A})=\dim V_1$$
下面給出一個簡單證明：

先證明一個用得上的引理：$$R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\alpha }_1),?,\mathcal{A}({\alpha }_n))$$
$?\alpha \in V_1$,$?\alpha =x_1{\alpha }_1+?+x_n{\alpha }_n$，
$$\begin{gathered} \beta =\mathcal{A}(\alpha )=\mathcal{A}(x_1{\alpha }_1+?+x_n{\alpha }_n) \\ =x_1\mathcal{A}({\alpha }_1)+?+x_n\mathcal{A}(x_n)\in V_2 \end{gathered}$$
因此
$$R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\alpha }_1),?,\mathcal{A}({\alpha }_n))$$
假設${\gamma }_1,?,{\gamma }_r$是$N(\mathcal{A})$的一組基，其中$r$是$\mathcal{A}$的零度，將這組基擴展到$V_1$，記為${\gamma }_1,?,{\gamma }_r,{\gamma }_{r+1}^{\prime },?,{\gamma }_n^{\prime }$，則
$$\begin{gathered} R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\gamma }_1),?,\mathcal{A}({\gamma }_r),\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),?,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })) \\ =span(0,?,0,\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),?,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })) \end{gathered}$$
因此
$$\dim R(\mathcal{A})=\dim span(\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),?,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime }))$$
要證明$\dim R(\mathcal{A})+\dim N(\mathcal{A})=\dim V_1$，只需要$\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),?,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })$線性無關：
考慮
$$\sum _{j=r+1}^n{k}_j\mathcal{A}({\gamma }_j^{\prime })=0?\mathcal{A}(\sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime })=0?\sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime }\in N(\mathcal{A})$$
因此它可以用$N(\mathcal{A})$的基表示
$$?\sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime }=\sum _{i=1}^r{l}_i{\gamma }_i$$
因為${\gamma }_1,?,{\gamma }_r,{\gamma }_{r+1}^{\prime },?,{\gamma }_n^{\prime }$線性無關，因此$?k_j=l_i=0$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计 线性空间与线性变换2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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