UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎4 t分布

• t分布的定義
• t分布的概率密度
• t分布的性質

t分布的定義

假設$X,Y$互相獨立，$X～N(\delta ,1)$，$Y～{\chi }_n^2$，則
$$Z=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}～t_{n,\delta }$$
其中$n$被稱為自由度，$\delta$為非中心參數，$\delta =0$稱為中心化的t分布，簡稱t分布。下面計算t分布的CDF與PDF并介紹幾個常用性質。

t分布的概率密度

記$Z$的概率密度為$s(x|n,\delta )$，分布函數為$S(x|n,\delta )$。

引理1 假設$X,Y$互相獨立，概率密度分別為$g(x),h(y)$，$Y>0,a.s.$，$Z=X/Y$，則
$$f_Z(z)={\int }_0^{\infty }tg(tz)h(t)dt,F_Z(z)={\int }_0^{\infty }G(tz)h(t)dt,?z\in \mathbb{R}$$
證明
$$\begin{gathered} F_Z(z)=P(Z\le z)=P(\frac{X}{Y}\le z)=P(X\le zY)={\int }_{x\le zy}g(x)h(y)dxdy \\ ={\int }_0^{\infty }h(y)dy{\int }_{?\infty }^{zy}g(x)dx={\int }_0^{\infty }G(zy)h(y)dy \\ {f}_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)={\int }_0^{\infty }{G}^{\prime }(zy)h(y)dy={\int }_0^{\infty }zg(zy)h(y)dy \end{gathered}$$

證畢

下面分別考慮$X$與$\sqrt{Y/n}$的分布。$X～N(\delta ,1)$，因此
$$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(?\frac{(x?\delta {)}^2}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2+{\delta }^2}{2}}{e}^{?\delta x}$$

類似我們在計算卡方分布時的處理，將$e^{?\delta x}$展開為級數，
$$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2+{\delta }^2}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(\delta x{)}^i}{i!}$$

因為$Y～{\chi }_n^2$，記$W=\sqrt{Y/n}$，則
$$\begin{gathered} H_W(w)=P(W\le w)=P(\sqrt{Y/n}\le w)=P(Y\le n{w}^2)=F_Y(n{w}^2) \\ {h}_W(w)=F_W^{\prime }(w)=2nw{f}_Y(n{w}^2)=2nw\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}(n{w}^2{)}^{\frac{n}{2}?1}{e}^{?n{w}^2/2} \\ =\frac{n^{\frac{n}{2}}{w}^{n?1}}{2^{\frac{n}{2}?1}\Gamma (\frac{n}{2})}{e}^{?\frac{n{w}^2}{2}},w>0 \end{gathered}$$
下面根據引理1計算t分布的概率密度：
$$\begin{gathered} s(z|n,\delta )={\int }_0^{\infty }zg(zy)h(y)dy={\int }_0^{\infty }z\frac{n^{\frac{n}{2}}{y}^{n?1}}{2^{\frac{n}{2}?1}\Gamma (\frac{n}{2})}{e}^{?\frac{n{y}^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{(zy{)}^2+{\delta }^2}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(\delta zy{)}^i}{i!}dy \\ =z\frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}?1}\Gamma (\frac{n}{2})}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{{\delta }^2}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{\delta }^i{z}^i}{i!}{\int }_0^{\infty }{y}^{i+n?1}{e}^{?\frac{n+z^2}{2}{y}^2}dy \end{gathered}$$

這里需要用到Gamma函數求積技巧：
$$\begin{gathered} {\int }_0^{\infty }{y}^{i+n?1}{e}^{?\frac{n+z^2}{2}{y}^2}dy=\frac{1}{n+z^2}{\int }_0^{\infty }{y}^{i+n?2}{e}^{?\frac{n+z^2}{2}{y}^2}d\left(\frac{n+z^2}{2}{y}^2\right) \\ =\frac{2^{\frac{i+n?2}{2}}}{(n+z^2{)}^{\frac{i+n}{2}}}{\int }_0^{\infty }{\left(\frac{n+z^2}{2}{y}^2\right)}^{\frac{i+n?2}{2}}{e}^{?\frac{n+z^2}{2}{y}^2}d\left(\frac{n+z^2}{2}{y}^2\right)=\frac{2^{\frac{i+n?2}{2}}}{(n+z^2{)}^{\frac{i+n}{2}}}\Gamma (\frac{n+i}{2}) \end{gathered}$$

帶入概率密度并化簡：
$$s(z|n,\delta )=\frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi }\Gamma (\frac{n}{2})}\frac{e^{?\frac{{\delta }^2}{2}}}{(n+z^2{)}^{\frac{n+1}{2}}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(n+i+1)(\delta z{)}^i}{2i!}{\left(\frac{2}{n+z^2}\right)}^{\frac{i}{2}}$$

當$\delta =0$時，
$$s(z|n,0)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi }\Gamma (\frac{n}{2})}{\left(1+\frac{z^2}{n}\right)}^{?\frac{n+1}{2}}$$

t分布的性質

性質1：$X_1,?,X_n{～}_{iid}N(\mu ,{\sigma }^2)$，$Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?b)}{\sqrt{\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}}～t_{n?1,\delta }$，$\delta =\frac{\sqrt{n}(\mu ?b)}{\sigma }$

性質2：$X_1,?,X_m{～}_{iid}N(a,{\sigma }^2),Y_1,?,Y_n{～}_{iid}N(b,{\sigma }^2)$，他們均互相獨立，則
$$Z=\sqrt{\frac{mn(m+n?2)}{m+n}}\frac{\bar{X}?\bar{Y}?c}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m(X_i?\bar{X}{)}^2+{\sum }_{j=1}^n(Y_j?\bar{Y}{)}^2}}～t_{m+n?2,\delta }$$

其中$\delta =\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\frac{a?b?c}{\sigma }$

性質3：$X_n～t_{n,\delta }$，則$X_n{\to }_{d}N(\delta ,1)$

性質1和性質2都比較簡單，性質1是單總體正態均值的t檢驗的基礎；性質2是雙總體正態均值的t檢驗的基礎。性質1中，對$Z$做簡單變形：
$$Z=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?b)}{\sqrt{\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}}=\frac{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?b)}{\sigma }}{\sqrt{\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n(\frac{X_i?\mu }{\sigma }?\frac{\bar{X}?\mu }{\sigma }{)}^2}}$$

分子$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?b)}{\sigma }～N(\frac{\sqrt{n}(\mu ?b)}{\sigma },1)$，并且與分母互相獨立；數理統計基礎1中已經證明了分母是服從${\chi }_{n?1}^2$的。性質2的證明方法與性質1類似。下面證明性質3：

證明 定義+大數定律
根據定義，$X_n$可以寫成$Z/\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i^2}$，其中$Z～N(\delta ,1)$且與所有的$Y_i$獨立，$Y_1,?,Y_n{～}_{iid}N(0,1)$，根據弱大數定律
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2{\to }_{P}E[Y_1^2]=1$$

因此當$n\to \infty$時，$X_n{\to }_{d}Z～N(\delta ,1)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论VI 数理统计基础4 t分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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