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UA MATH564 概率论VI 数理统计基础5 F分布

發布時間：2025/4/14 编程问答 45 豆豆

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UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎5 F分布

假設 $\sim \chi^2_{m,\delta},Y \sim \chi^2_{n}$ 且二者獨立，則
$\frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n,\delta}$
其中 $δ\delta$ 被稱為非中心參數， $δ=0\delta=0$ 則稱 $Z$ 服從中心化的F分布，簡稱F分布。注意到 $Z$ 也是兩個隨機變量的商，可以用上一講介紹的引理1計算 $Z$ 的概率密度，此處省略過程：
$f(x∣m,n,δ)=e?δ22∑i=0∞(δ22)ii!nn2mm2+icixm2?1+i(n+mx)m+n2+ici=Γ(m+n2+i)Γ(n2)Γ(m2+i)f(x|m,n,\delta) = e^{-\frac{\delta^2}{2}}\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\frac{\delta^2}{2})^i}{i!}n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}+i}c_i \frac{x^{\frac{m}{2}-1+i}}{(n+mx)^{\frac{m+n}{2}+i}} \\ c_i = \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2}+i)}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2}+i)}$

當 $δ=0\delta=0$ 時，概率密度為
$\frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(n+mx)^{\frac{m+n}{2}}}$
下面介紹三條性質：

性質1： $tn,δ=dF1,n,δt_{n,\delta} =_d F_{1,n,\delta}$

性質2： $Xi～N(a,σ2),Yj～N(b,σ2),i=1,?,m,j=1,?,nX_i \sim N(a,\sigma^2),Y_j \sim N(b,\sigma^2),i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n$ 所有的 $X, Y$ 均互相獨立，則
$\frac{\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n (Y_j - \bar{Y})^2} \sim F_{m-1,n-1}$
性質3：記 $Xn～Fm,n,δX_n \sim F_{m,n,\delta}$ ，則 $Xn→d1mχm,δ2X_n \to_d \frac{1}{m}\chi^2_{m,\delta}$

性質1根據概率密度的表達式就可以證明，性質2也可以根據定義寫出來。性質1的意義是說明在線性模型中，針對單個系數做t檢驗和做partial F檢驗是等價的；性質2的意義是給雙正態總體的方差檢驗提供依據。下面證明性質3：

證明
根據定義，可以將 $X_n$ 寫成
$Xn=K/mY/n～Fm,n,δX_n = \frac{K/m}{Y/n} \sim F_{m,n,\delta}$

$\sim \chi^2_{m,\delta},Y \sim \chi^2_{n}$ 且二者獨立。其中 $Y / n$ 又可以寫成
$Yn=1n∑j=1nZj2,Zj～iidN(0,1)\frac{Y}{n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j^2,Z_j \sim_{iid} N(0,1)$

根據大數定律，
$Yn=1n∑j=1nZj2→PE[Z12]=1\frac{Y}{n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j^2 \to_P E[Z_1^2] = 1$

因此 $Xn→dK/m～1mχm,δ2X_n \to_d K/m \sim \frac{1}{m}\chi^2_{m,\delta}$
證畢

總結

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