UA MATH564 概率論 高階矩的計算：有限差算子方法1

• 有限差算子及其性質
• • 0的有限差與Stirling數之間的關系
• 計算離散型隨機變量的n階矩

有限差算子(finite difference)，也被稱為向前差分(forward difference)是一種非常古老的數學工具了，但它在離散型隨機變量的期望方面具有非常強大的實力。

有限差算子及其性質

假設$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的實函數，定義有限差算子為
$$\Delta f(x)=f(x+1)?f(x)$$

定義位移算子為$$Mf(x)=f(x+1)$$

根據定義可以直接得到如下性質：

$M^{m}f(x)=f(x+m)$

$\Delta f(x)=(M?1)f(x)$

這里的1是恒等算子。性質1非常簡單，性質2也只是簡單套用定義：
$$\Delta f(x)=f(x+1)?f(x)=Mf(x)?1f(x)=(M?1)f(x)$$

根據性質2可以知道有限差算子與位移算子之間的關系是：
$$\begin{gathered} \Delta =M?1 \\ M=\Delta +1 \end{gathered}$$

基于他們之間的關系可以進一步推得下面兩個非常有用的公式：
$$\begin{gathered} {\Delta }^{m}f(x)=(M?1{)}^{m}f(x)=\sum _{j=0}^m(?1{)}^j{C}_m^j{M}^{m?j}f(x)=\sum _{j=0}^m(?1{)}^j{C}_m^{j}f(x+m?j) \\ {M}^{m}f(x)=(1+\Delta {)}^{m}f(x)=\sum _{j=0}^m{C}_m^j{\Delta }^{j}f(x) \end{gathered}$$

下面我們利用這兩個公式證明一個看似不可思議的定理。

0的有限差與Stirling數之間的關系

定理1
$${\Delta }^m{0}^n=m!S_2(n,m),n\ge m$$

這個關系的含義是：0的$n$次冪的$m$階有限差等于$m$的階乘乘以第二類Stirling數。0的$n$次冪的$m$階有限差就是
$${\Delta }^m{0}^n=(M?1{)}^m{0}^n=\sum _{j=0}^m(?1{)}^{m?j}{C}_m^j{M}^j{0}^n=\sum _{j=0}^m(?1{)}^{m?j}{C}_m^j{j}^n$$

這個定理在計算離散型隨機變量的期望時有非常大的用處。

證明
第二類Stirling數有如下性質：
$$\begin{gathered} x^n=\sum _{j=0}^n{S}_2(n,j)(x{)}_j \\ ?{\Delta }^m{x}^n=\sum _{j=0}^n{S}_2(n,j){\Delta }^m(x{)}_j \end{gathered}$$

下面的計算需要用到引理1，先默認引理1是正確的，推導結束后再來證明引理1。
$$RHS=\sum _{j=0}^n{S}_2(n,j)(j{)}_m(x{)}_{j?m}I(m\le j)=\sum _{j=m}^n{S}_2(n,j)(j{)}_m(x{)}_{j?m}$$

令$x=0$，則當且僅當$j=m$時，$(x{)}_{j?m}=0!=1$，否則$(x{)}_{j?m}=0$，所以
$${\Delta }^m{0}^n=m!S_2(n,m)$$

引理1
$${\Delta }^m(x{)}_j=(j{)}_m(x{)}_{j?m}I(m\le j)$$

用數學歸納法，當$m=1$時，
$$\begin{gathered} \Delta (x{)}_j=(x+1{)}_j?(x_j) \\ =(x+1)x(x?1)?(x+2?j)?x(x?1)?(x+2?j)(x+1?j) \\ =[(x+1)?(x+1?j)](x{)}_{j?1}=j(x{)}_{j?1} \end{gathered}$$

顯然是服從引理1的；假設引理1對$m=k$成立，則
$$\begin{gathered} {\Delta }^{k+1}(x{)}_j=\Delta \left({\Delta }^k(x{)}_j\right)=(j{)}_k(x+1{)}_{j?k}I(k\le j)?(j{)}_k(x{)}_{j?k}I(k\le j) \\ =(j{)}_{k}I(k\le j)[(x+1)?(x+1?(j?k))](x{)}_{j?k?1} \\ =(j{)}_{k}I(k\le j)(j?k)I(k+1\le j)(x{)}_{j?k?1} \\ =(j{)}_{k+1}(x{)}_{j?k?1}I(k+1\le j) \end{gathered}$$

即引理1對$m=k+1$也成立。

證畢

計算離散型隨機變量的n階矩

假設$X=0,1,?$，并且$P(X=j)=p_j$，則它的$n$階原點矩為
$$E{X}^n=\sum _{j=0}^{\infty }{j}^n{p}_j$$

替換掉$j^n$，考慮
$$M^j{x}^n=(x+j{)}^n?M^j{0}^n=j^n$$

因此
$$E{X}^n=\sum _{j=0}^{\infty }{p}_j{M}^j{0}^n=\sum _{j=0}^{\infty }{p}_j(\Delta +1{)}^j{0}^n$$

下一講介紹怎么用這個公式計算二項分布、Poisson分布、超幾何分布和負二項分布的$n$階矩。

總結

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