UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎3 卡方分布的正態近似

• 卡方分布的正態近似
• Gamma分布的正態近似
• • 基于卡方分布的近似
  • 基于指數分布的近似

在做UA MATH566 統計理論 QE練習題1的第五題的時候，最后一個小問答案用了一個沒學過的操作：Normal Approximation of Centered Chi-sq. 這一講介紹一下這個操作。

卡方分布的正態近似

假設$X_1,?,X_n$互相獨立，并且$X_i～N(0,1)$，則稱
$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2～{\chi }^2(n)$$

其中$n$代表樣本數，這個分布是中心化的卡方分布，它也是$\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})$。

定理（Classical Central Limit Theorem）
$$Z_n=\frac{\bar{X}?\mu }{\sigma /\sqrt{n}}{\to }_{d}N(0,1)$$
對卡方分布使用這個定理，記${\chi }_n^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$，則$E{\chi }_n^2=n$，$Var{\chi }_n^2=2n$，根據中心極限定理，
$$\frac{{\chi }_n^2/n?1}{\sqrt{2/n}}{\to }_{d}N(0,1){=}_{d}Z$$

當$n$足夠大時，
$${\chi }_n^2\approx n(1+\sqrt{2/n})Z=n+\sqrt{2n}Z$$

所以${\chi }_n^2$的$\alpha$上分位點為$n+\sqrt{2n}{Z}_{\alpha }$。這種對卡方分布做近似的方法叫做卡方分布的正態近似。

Gamma分布的正態近似

現在考慮更一般的Gamma分布的正態近似問題，假設$Y～\Gamma (\alpha ,\beta )$。

基于卡方分布的近似

如果$\alpha =m(n/2)$，其中$k,n$都是整數，則記$Y_i{～}_{iid}\Gamma (n/2,\beta ),i=1,2,?,m$，從而$2\beta Y_i{～}_{iid}{\chi }^2(n)$。記$X_i=2\beta Y_i$，
$$E\bar{X}=n,Var\bar{X}=2n/m^2$$

對$\bar{X}$使用中心極限定理，
$$\frac{\bar{X}?n}{\sqrt{2n/m^2}}\approx Z?\bar{X}=n+\frac{\sqrt{2n}}{m}Z$$

所以
$$\begin{gathered} Y=\sum _{i=1}^m{X}_i/2\beta =m\bar{X}/2\beta \approx m(n+\sqrt{2n/m}Z)/2\beta \\ =mn/2\beta +\sqrt{2mn}/2\beta Z=\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\sqrt{\alpha }}{\beta }Z \end{gathered}$$

雖然推導時假設了$2\alpha$可以分解成兩個整數的乘積，但在實際應用時可以對所有的$\alpha$使用這個近似。

基于指數分布的近似

假設$\alpha$是整數，$Y_i～EXP(\beta )$，則
$$E\bar{Y}=1/\beta ,Var\bar{Y}=\frac{1}{\alpha {\beta }^2}$$

對$\bar{Y}$使用中心極限定理，
$$\frac{\bar{Y}?1/\beta }{\sqrt{1/\alpha {\beta }^2}}\approx Z?\bar{Y}\approx \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\sqrt{\alpha }\beta }Z$$

因此
$$Y=\alpha \bar{Y}\approx \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\sqrt{\alpha }}{\beta }Z$$

這兩種推導給出的結果是一致的，事實上使用中心極限定理做這種近似的本質是分布的可加性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布的正态近似的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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