UA MATH564 概率論 依概率收斂的一個例題

$X_1,X_2,?,X_n{～}_{iid}a+EXP(\lambda )$, $Y_n=\min (X_1,?,X_n)$. Prove $Y_n{\to }_{p}c$ and find c.

Answer.
Density of $X_i$ is
$$f_X(x)=\lambda e^{?\lambda (x?a)},x\ge a$$

and CDF of $X_i$ is
$$F_X(x)={\int }_a^x\lambda e^{?\lambda (s?a)}ds=1?e^{?\lambda (x?a)},x\ge a$$

For $Y_n=\min (X_1,?,X_n)$,
$$\begin{gathered} F_{Y_n}(y)=P(Y_n\le y)=P(\min (X_1,?,X_n)\le y)=1?P(\min (X_1,?,X_n)>y) \\ =1?[P(X_i>y){]}^n=1?[1?F_X(y){]}^n=1?e^{?n\lambda (y?a)},y\ge a \end{gathered}$$

This means $Y_n～a+EXP(n\lambda )$,
$$\begin{gathered} E{Y}_n=a+\frac{1}{n\lambda }\to a,asn\to \infty \\ Var(Y_n)=\frac{1}{n^2{\lambda }^2}\to 0,asn\to \infty \end{gathered}$$

So $Y_n{\to }_{L_2}a?Y_n{\to }_{p}a$.

總結

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