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UA MATH564 概率论标准二元正态分布的性质

發布時間：2025/4/14 编程问答 22 豆豆

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UA MATH564 概率論標準二元正態分布的性質

兩個獨立的標準正態變量
- Rayleigh分布
- Cauchy分布
- Box-Muller變換
兩個相關的標準正態變量
- 邊緣密度
- 條件密度

兩個獨立的標準正態變量

假設 $X$ ， $Y$ 是兩個獨立的標準正態變量，則
$\propto \exp\left( -\frac{x^2 + y^2}{2} \right)$

Rayleigh分布

做極坐標變換 $r\cos(\theta),y = r\sin(\theta),r \in [0,+\infty),\theta \in [0,2\pi)$ ，這個變換的Jacobi行列式為 $r$ ，根據多元隨機變量變換的規則，
$fR,Θ(r,θ)∝re?r22f_{R,\Theta}(r,\theta) \propto re^{-\frac{r^2}{2}}$

這個是標準Rayleigh分布的密度核，說明 $R$ 服從標準Rayleigh分布，因為這個密度核與 $θ\theta$ 無關，說明 $Θ\Theta$ 服從均勻分布。計算
$∫02πdθ∫0∞re?r22dr=2π\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\infty} re^{-\frac{r^2}{2}}dr = 2\pi$

所以
$fR,Θ(r,θ)=r2πe?r22,r∈[0,+∞),θ∈[0,2π)f_{R,\Theta}(r,\theta) = \frac{r}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}},r \in [0,+\infty),\theta \in [0,2\pi)$

并且 $R,ΘR,\Theta$ 互相獨立。

Cauchy分布

定義 $\tan \Theta = X/Y$ ，則
$?Θ?T=?arctan?T?T=11+T2\frac{\partial \Theta}{\partial T} = \frac{\partial \arctan T}{\partial T} = \frac{1}{1+T^2}$

根據隨機變量變換的規則（注意 $Θ∈[0,2π)\Theta \in [0,2\pi)$ 但 $tan?\tan$ 的周期是 $π\pi$ ，所以要在變換的基礎上再乘2）
$fT(t)=1π(1+t2)f_T(t) = \frac{1}{\pi (1+t^2)}$

這個是標準Cauchy分布。根據 $R,ΘR,\Theta$ 互相獨立可知， $X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2}$ 與 $X / Y$ 互相獨立。

Box-Muller變換

上面的結論在統計計算中有很廣的應用。首先，假設我們要用反函數法生成標準Rayleigh分布的樣本，用 $U$ 表示均勻分布的樣本，考慮
$F_R(R) = \int_0^{R} re^{-\frac{r^2}{2}}dr = 1 - e^{-\frac{R^2}{2}} \Rightarrow R = \sqrt{-2\ln (1-U)}$

其中 $1 ? U$ 也是[0,1]上的均勻隨機變量。假設 $V, W$ 是兩個獨立的[0,1]上的均勻隨機變量，定義
$\sqrt{-2\ln V},\Theta = 2\pi W$

則 $R,ΘR,\Theta$ 互相獨立，并且 $R$ 服從標準Rayleigh分布， $Θ\Theta$ 服從 $[0,2π)[0,2\pi)$ 上的均勻分布，再根據極坐標變換
$R\sin \Theta = \sqrt{-2\ln V} \sin (2\pi W) \\ Y = R\cos \Theta = \sqrt{-2\ln V} \cos (2\pi W)$

是兩個獨立的標準正態變量。這個變換叫Box-Muller變換，可以根據這個變換產生正態樣本。

兩個相關的標準正態變量

現在要利用兩個獨立的標準正態變量構造兩個相關的標準正態變量，定義
$Z1=X1,Z2=ρX1+1?ρ2X2Z_1 = X_1,\ \ Z_2 = \rho X_1 + \sqrt{1-\rho^2}X_2$

根據隨機變量變換的規則，
$fZ1,Z2(z1,z2)=12π1?ρ2exp?(?z12+(z2?ρz11?ρ2)22)=12π1?ρ2exp?(?z12?2ρz1z2+z222(1?ρ2))f_{Z_1,Z_2}(z_1,z_2) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left( -\frac{z_1^2 + (\frac{z_2-\rho z_1}{\sqrt{1-\rho^2}})^2}{2} \right) \\ = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left( -\frac{z_1^2 -2\rho z_1z_2 + z_2^2}{2(1-\rho^2)} \right)$

邊緣密度

$fZ1(z1)=∫?∞+∞12π1?ρ2exp?(?z12?2ρz1z2+z222(1?ρ2))dz2=∫?∞+∞e?z1222π1?ρ2exp?(?(z2?ρz1)22(1?ρ2))dz2=2π(1?ρ2)e?z1222π1?ρ2=12πe?z122f_{Z_1}(z_1) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left( -\frac{z_1^2 -2\rho z_1z_2 + z_2^2}{2(1-\rho^2)} \right) dz_2 \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{z_1^2}{2}}}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left( -\frac{(z_2-\rho z_1)^2}{2(1-\rho^2)} \right) dz_2 \\ = \frac{\sqrt{2\pi (1-\rho^2)}e^{-\frac{z_1^2}{2}}}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z_1^2}{2}}$

也就是說 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的邊緣密度還是標準正態的。

條件密度

$fZ2∣Z1(z2∣z1)=f(z1,z2)f(z1)=12π1?ρ2exp?(?z12?2ρz1z2+z222(1?ρ2))12πe?z122=12π(1?ρ2)exp?(?(z2?ρz1)22(1?ρ2))f_{Z_2|Z_1}(z_2|z_1) = \frac{f(z_1,z_2)}{f(z_1)} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left( -\frac{z_1^2 -2\rho z_1z_2 + z_2^2}{2(1-\rho^2)} \right)}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z_1^2}{2}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}} \exp \left( -\frac{(z_2-\rho z_1)^2}{2(1-\rho^2)} \right)$

這說明 $Z2∣Z1～N(ρZ1,1?ρ2)Z_2|Z_1 \sim N(\rho Z_1,1-\rho^2)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论标准二元正态分布的性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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