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UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念

發布時間：2025/4/14 编程问答 44 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH563 概率論的數學基礎I 概率空間1 基本概念

Kolmogorov公理化體系
概率空間的直觀理解

Kolmogorov公理化體系

一個概率模型可以用概率空間來描述，也就是 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ ，其中 $Ω\Omega$ 是樣本點 $w$ 的集合； $F\mathcal{F}$ 表示所有可能的事件，是 $Ω\Omega$ 的一個 $σ\sigma$ -代數； $P$ 是概率測度（ $P(Ω)=1P(\Omega)=1$ ， $σ\sigma$ -可加測度）。

第I部分主要介紹Kolmogorov公理化體系的內容，包括對概率空間的直觀理解、對事件的理解、對概率測度的理解，以及建立概率模型的方法。

概率空間的直觀理解

祖師爺Kolmogorov引入了概率與概率空間的公理化定義，用 $P$ 表示概率測度， $Ω\Omega$ 表示樣本空間（狀態空間）， $F\mathcal{F}$ 表示狀態空間的 $σ\sigma$ -代數（事件空間），那么概率空間就是 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ 。

隨機試驗提供了一種直觀理解概率空間的思路，比如toss a coin的試驗，狀態空間為 $Ω={H,T}\Omega = \{H,T\}$ ；toss n coins，狀態空間為 $Ωn={w=(w1,?,wn):wi=HorT}\Omega_n = \{w=(w_1,\cdots,w_n):w_i = H\ or \ T \}$ ，狀態空間也就是一次試驗所有可能結果的集合。 $F\mathcal{F}$ 表示toss coin的所有可能的事件（ $Ω\Omega$ 的所有子集，也就是在一個事件中，有限種結果同時發生、另一些結果不發生），比如對于toss a coin， $F={?,{H},{T},{H,T}}\mathcal{F} = \{\phi,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$ ，分別表示既不是正面也不是反面、正面、反面、既是正面也是反面這四個事件，顯然第一個和第四個事件概率為0。 $F\mathcal{F}$ 中的事件的概率測度可以基于 $P (H) = P (T) = 1 / 2$ 進行計算。這個例子也足以說明概率公理化定義的實踐就是把概率空間的三個要素準確定義出來。

這個例子非常容易推廣到 $n$ 取無窮的情況，這時狀態空間可以記為
$Ω∞={w=(w1,?,wn,?,∞):wi=HorT}\Omega_{\infty} = \{w=(w_1,\cdots,w_n,\cdots,\infty):w_i = H\ or \ T \}$

這時單次試驗的一種可能的結果就變成了一個infinite Boolean vector，那要如何定義概率測度呢？（顯然 $P (w) = 0$ ，pointwise的定義不可行）

一個可行的辦法是考慮狀態空間一些特殊的子集，定義
$A_k = \{w: first\ H\ occurs\ after\ k\ toss\}$

那么 $Ω∞=?k=1∞Ak\Omega_{\infty} = \bigsqcup_{k=1}^{\infty} A_k$ ，并且
$P(Ak)=12kP(A_k) = \frac{1}{2^k}$

也就是說我們只能構造狀態空間的一種分割，以及每個分割的概率；這種分割比pointwise probability in state space更粗糙，也就意味著不是所有 $F\mathcal{F}$ 中的事件都一定可以基于分割的概率被計算出來，或者說，只有能夠用這個分割覆蓋的那些事件才有概率。

我們可以嘗試把這個說法做抽象化處理， $F\mathcal{F}$ 包含所有能被 $Ω\Omega$ 的某個分割覆蓋的集合，下面證明一個結論，這樣的 $F\mathcal{F}$ 是一個 $σ\sigma$ -代數。
證明
第一步，考慮空集，假設 $?Ak,k=1,?,∞\exists A_k,k=1,\cdots,\infty$ ， $Ω=?kAk\Omega = \bigsqcup_k A_k$ ，也就是 $A_k$ 是 $Ω\Omega$ 的一組分割。顯然
$Ω??kAk????kAk?Ω=?kAk\Omega \supset \bigsqcup_k A_k \Rightarrow \phi \subset \bigcap_k A_k \subset \Omega = \bigsqcup_k A_k$

所以 $?∈F\phi \in \mathcal{F}$ ;

第二步，考慮交集，假設 $C,D∈FC,D\in \mathcal{F}$ ，則 $?Ak,Bk,k=1,?,∞\exists A_k,B_k,k=1,\cdots,\infty$ ， $Ω=?kAk=?kBk,Ak≠Bk\Omega = \bigsqcup_k A_k = \bigsqcup_k B_k,A_k \ne B_k$ ，且 $\subset \bigsqcup_k A_k,D \subset \bigsqcup_k B_k$ ，
$\cap D \subset (\bigsqcup_i A_i ) \cap (\bigsqcup_j B_j ) = \bigsqcup_i\bigsqcup_j A_i \cap B_j$

顯然 $Ai∩Bj,i,j=1,?,∞A_i \cap B_j,i,j = 1,\cdots,\infty$ 也是 $Ω\Omega$ 的分割
$?i?j=Ω\bigsqcup_i\bigsqcup_j = \Omega$

因此 $C∩D∈FC\cap D \in \mathcal{F}$

第三步，考慮差集，能覆蓋 $C$ 的分割一定可以覆蓋 $\setminus D$ ，所以這個結果比較naive

第四步，考慮infinite union，假設 $Cα∈F,α∈AC_{\alpha} \in \mathcal{F},\alpha \in A$ ，則 $?Aαk,k=1,?,∞,α∈A\exists A_{\alpha k},k=1,\cdots,\infty,\alpha \in A$ ， $Ω=?kAαk,?α∈A\Omega = \bigsqcup_k A_{\alpha k},\forall \alpha \in A$ ，且 $Cα??kAαkC_{\alpha} \subset \bigsqcup_k A_{\alpha k}$ ，
$?α∈ACα??α∈A?kAαk=?k?α∈AAαk\bigcup_{\alpha \in A} C_{\alpha } \subset \bigcup_{\alpha \in A} \bigsqcup_k A_{\alpha k} = \bigsqcup_k \bigcup_{\alpha \in A} A_{\alpha k}$

注意到 $?α∈AAαk,k=1,?,∞\bigcup_{\alpha \in A} A_{\alpha k},k=1,\cdots,\infty$ 也是 $Ω\Omega$ 的分割，因此
$?α∈ACα∈F\bigcup_{\alpha \in A} C_{\alpha } \in \mathcal{F}$

評注從理論上我們可以從分割的角度驗證事件空間本質應該是狀態空間的一個 $σ\sigma$ -代數，但在實踐中會遇到的問題則是能用來解決問題的 $σ\sigma$ -代數應該怎么構造。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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