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UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度

發布時間：2025/4/14 编程问答 24 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH563 概率論的數學基礎1 概率空間3 概率測度

測度與概率
概率的連續性

對于概率空間 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ ， $Ω\Omega$ 是非空集合，表示狀態空間； $F\mathcal{F}$ 是事件空間，也是狀態空間的一個 $σ\sigma$ -代數； $P$ 是概率測度。我們已經嚴格定義了前兩個要素，這一講我們介紹概率測度。

測度與概率

測度 $P$ 是一個自變量為集合的函數，它把集合映射成一個數值。對于可測空間 $(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})$ ，如果 $P:F→R+P:\mathcal{F} \to \mathbb{R}^+$ 是一個測度，則

P(?)=0P(\phi)=0

?A∈F,P(A)≥0\forall A \in \mathcal{F},P(A) \ge 0

?Ai∈F,i=1,?,n\forall A_i \in \mathcal{F},i=1,\cdots,n

P(?i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)

如果 $?An∈F,n=1,2,?\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$ ， $P(?n=1∞An)=∑n=1∞P(An)P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} A_n)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$ ，稱 $P$ 具有可列可加性，或稱 $P$ 為 $σ\sigma$ -可加測度。

如果 $P(Ω)<∞P(\Omega)<\infty$ ，稱 $P$ 為有限測度；如果 $?An,n=1,2,?\exists A_n,n=1,2,\cdots$ ， $Ω=∑n=1∞An\Omega=\sum_{n=1}^{\infty} A_n$ ，且 $P(An)<∞,?nP(A_n)<\infty,\forall n$ ，則稱 $P$ 為 $σ\sigma$ -有限測度。顯然有限測度一定是 $σ\sigma$ -有限測度，反之不成立。

如果 $P(Ω)=1P(\Omega)=1$ ，且 $P$ 是 $σ\sigma$ -可加測度，稱 $P$ 為概率測度，或簡稱概率。

概率的連續性

假設 $P$ 是 $F\mathcal{F}$ 上的 $σ\sigma$ -可加函數， $P(Ω)=1P(\Omega)=1$ ，下面四個條件等價：

P

是概率；

P

上連續；

P

下連續；

P

在"0"上連續；

我們先介紹一下集函數的連續性，然后再證明它們的等價性。類比實變函數的連續性， $f (x)$ 在 $x_0$ 處連續，等價于 $?xn→x0\forall x_n \to x_0$ ， $lim?nf(xn)→f(x0)=f(lim?nxn)\lim_n f(x_n)\to f(x_0)=f(\lim_n x_n)$ 。上連續意味著 $?xn→x0\forall x_n \to x_0$ 應該改為 $?xn↑x0\forall x_n \uparrow x_0$ ；下連續就改為 $?xn↓x0\forall x_n \downarrow x_0$ ，也就是說半連續性會限制逼近的方向。

上連續 $?An∈F,n=1,2,?\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$ ， $An?An+1A_n \subset A_{n+1}$ ，如果 $P(?n=1∞An)=lim?nP(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)$ ，稱 $P$ 是上連續的。這個定義中需要注意的是，因為 $An?An+1A_n \subset A_{n+1}$ ，所以 $?n=1∞An=lim?nAn\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_n A_n$ 。

下連續 $?An∈F,n=1,2,?\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$ ， $An?An+1A_n \supset A_{n+1}$ ，如果 $P(?n=1∞An)=lim?nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)$ ，稱 $P$ 是下連續的。

在0處連續 也就是在 $?\phi$ 處連續， $?An∈F,n=1,2,?\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$ ， $An?An+1A_n \supset A_{n+1}$ ， $?n=1∞An=?\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\phi$ ，如果 $P(?n=1∞An)=lim?nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)$ ，稱 $P$ 在 $?\phi$ 處連續。

證明
$\to 2$ ，記 $A0=?A_0=\phi$ ，直接計算
$P(?n=1∞An)=P(?n=1∞(An?An?1))=∑n=1∞P(An?An?1)=∑n=1∞[P(An)?P(An?1)]=P(A∞)?P(A0)=lim?n→∞P(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} (A_n\setminus A_{n-1}) ) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n\setminus A_{n-1})\\ =\sum_{n=1}^{\infty} [P(A_n)-P(A_{n-1})] =P( A_{\infty})-P(A_0) = \lim_{n\to \infty} P(A_n)$
$\to 3$ ，因為 $An↓A_n \downarrow$ ，所以 $A1?An↑A_1\setminus A_n \uparrow$ ，同時
$?n=1∞A1?An=?n=1∞A1∩AnC=A1∩?n=1∞AnC=A1∩(?n=1∞An)C=A1??n=1∞An\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\setminus A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\cap A_n^C = A_1 \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^C = A_1 \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)^C = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$

根據2，
$lim?n→∞P(A1?An)=P(?n=1∞(A1?An))\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n))$

基于 $An=A1?(A1?An)A_n=A_1 \setminus (A_1\setminus A_n)$ ，
$P(An)=P(A1)?P(A1?An)lim?n→∞P(An)=P(A1)?lim?n→∞P(A1?An)=P(A1)?P(?n=1∞(A1?An))=P(A1)?P(A1??n=1∞An)=P(?n=1∞An)P(A_n)=P(A_1)-P(A_1 \setminus A_n) \\ \lim_{n \to \infty}P(A_n)=P(A_1)-\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(A_1) - P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n)) \\ = P(A_1) - P(A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n ) = P(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n)$
$\to 4$ ，非常顯然。

$\to 1$ ，只需驗證 $σ\sigma$ 可加性即可。考慮
$?i=1∞Ai=?i=1nAi+?i=n+1∞Ai\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigsqcup_{i=1}^{n} A_i+ \bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i$

注意到 $?i=n+1∞Ai↓?\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i \downarrow \phi$ ，根據4， $lim?n→∞P(?i=n+1∞Ai)=0\lim_{n \to \infty}P(\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i)=0$ 。根據有限可加性，
$P(?i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{n} A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)$

因此
$P(?i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i )=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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