UA MATH523A 實分析1 集合論基礎2 序關系與Zorn引理

• 偏序與全序
• 關于最大元的幾個結論
• • 選擇公理
  • Hausdorff Maximal Principle與Zorn引理
  • 良序原則

這一講的目標是把最大、更大這些概念進行推廣。早期數學教學專注實數域、而實數域的元素大小關系非常直觀。現在我們要試圖把這種直觀的大小關系推廣到一般性的集合，也就是定義集合元素之間的序關系，并且基于序關系定義最大、最小值的概念。

偏序與全序

假設$X$是一個非空集合、$R$是一個二元關系，如果$?x,y\in X$

$xRx$，$?x\in X$

$xRy,yRx?x=y$

$xRy,yRz?xRz$

則稱$R$是$X$上的一個偏序（Partial Ordering），記為$\le$，稱$X$為偏序集，記為$(X,\le )$或簡寫為$X$。如果$x\le y,y\le x$中必有一個成立，則稱$R$為全序（total ordering or linearly ordering）。稱兩個偏序集序同構（order isomorphic）如果$?f:X\to Y$ 1-1 and onto such that $x_1\le x_2$ iff $f(x_1)\le f(x_2)$。

基于序關系還可以定義最大元、最小元：

最大元：$?M\in X,?x\in X,x\le M$

最小元：$?m\in X,?x\in X,m\le x$

如果$(X,\le )$的每個非空子集都存在最小元，就稱$(X,\le )$是良序集（well-ordered set），稱$\le$是良序（well ordering）。

關于最大元的幾個結論

Axiom of Choice（by Zermelo 1904）：一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合
Zorn’s Lemma：如果偏序集的所有全序子集都有一個上界，那么這個偏序集有最大元
Hausdorff Maximal Principle：每個偏序集都有一個最大的全序子集
Well Ordering Principle (by Cantor 1883)：任意非空集合上都可以定義一個良序使之成為良序集

這四個結論是等價的，下面我們從選擇公理開始逐個介紹這幾個結論。

選擇公理

選擇公理是Zermelo于1904年提出的，目的是證明Cantor于1883年提出的良序原則（Well Ordering Principle），Zermelo證明了良序原則與選擇公理是等價的。選擇公理有一些等價敘述，“一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合”只是其中一種，另外比如“對任何集族$\mathcal{F}$，都存在函數$f$使得$?S\in \mathcal{F},S=?$,$f(S)\in S$”等。選擇公理經過Sierpinski與Godel等人近三十年的努力后逐漸被數學家們采納并廣泛應用于各個分支領域，此后越來越多的命題被證明是和選擇公理等價的。

但對于選擇公理的質疑也是沒有停止的，比如著名的Banach-Tarski定理（1924年），這個定理講的故事是把一個球面分成有限塊，然后通過平移旋轉拼出兩個球，這兩個球都和原來的球一模一樣。因為這個是基于選擇公理和Hausdorff（1914）的結論證明出來的，所以這是一個定理，但它非常反直覺。1

分析和代數使用選擇公理幾乎就是從選擇公理開始后的幾年開始的，因為做分析和代數的數學家雖然沒有明說，但他們早就在一些構造性證明中使用了與選擇公理類似的陳述。所以實分析認可選擇公理。

Hausdorff Maximal Principle與Zorn引理

Hausdorff Maximal Principle說的是每個偏序集都有一個最大的全序子集，考慮偏序集$(X,\le )$，則$?E?X$，$(E,\le )$是全序集，并且$E$包含$X$其他所有全序子集。按Zorn引理的敘述，偏序集的所有全序子集都有一個上界，則$(E,\le )$存在一個上界，記這個上界為$M$，則$M$是$X$的最大元（如果$M$不是最大元，可以把$M$納入$E$中，定義$E^{\prime }=E\cup \{M\}$，驗證$E^{\prime }$為全序集，則$E^{\prime }?E$，這與$E$是最大的全序子集矛盾）。

當然Zorn引理也可以導出Hausdorff Maximal Principle，記$\mathcal{C}$是$(X,\le )$所有全序子集的集族，則$(\mathcal{C},?)$是一個偏序集，對這個偏序集應用Zorn引理，顯然它存在一個最大元，這個最大元就是$(X,\le )$最大的全序子集。

良序原則

使用Zorn引理可以證明良序原則。我們需要引入一個工具：良序集的擴張。假設$(A,\le )$是一個良序集，$A?B$，定義二元關系${\le }_B$使得：

$(A,\le )$與$(A,{\le }_B)$等價；

$?x\in B?A$，$y{\le }_{B}x,?y\in A$

則$(B,{\le }_B)$也是一個良序集，稱之為良序集$(A,\le )$的擴張。

我們再定義一個良序之間的序關系，用$R$表示，因為$(B,{\le }_B)$是$(A,\le )$的擴張，這種序關系記為$(A,\le )R(B,{\le }_B)$。用$\mathcal{C}$表示偏序集$(X,\le )$所有良序子集的集族，則$(\mathcal{C},R)$是偏序集，根據Zorn引理，它存在一個最大元，接下來我們可以把最大元擴展到$X$上，使$X$被良序化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析1 集合论基础2 序关系与Zorn引理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。