UA SIE545 優化理論基礎1 凸分析2 仿射組合與仿射包

對于數域$F$上的線性空間$V$，考慮$?x_1,?,x_m\in V,?{\lambda }_1,?,{\lambda }_m\in F$, ${\lambda }_1+?+{\lambda }_m=1$，稱$$x={\lambda }_1{x}_1+?+{\lambda }_m{x}_m$$

為一個仿射組合。考慮$S?V$，記$affS$為線性子空間的$S$仿射包，它是包含$S$的最小線性流形：
$$affS=\{\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{x}_i:x_i\in S,{\lambda }_i\in F,\sum _{i=1}^m{\lambda }_i=1\}$$

對于$y_0,y_1,?,y_m\in S$，稱它們仿射無關，如果$y_1?y_0,?,y_m?y_0$線性無關；稱它們仿射相關，如果$y_1?y_0,?,y_m?y_0$線性相關。因此
$$span\{y_1?y_0,?,y_m?y_0\}=aff\{0,y_1?y_0,?,y_m?y_0\}$$

其中$aff\{vectors\}$表示由這些vectors生成的線性流形。另外，根據平行關系，
$$aff\{0,y_1?y_0,?,y_m?y_0\}=b_0+aff\{y_0,y_1,?,y_m\}$$

基于仿射無關與線性無關的關系，我們可以將判斷線性相關性的方法直接用來判斷仿射相關性。另外，根據線性流形與線性子空間的關系，仿射變換總是可以表示成一個線性變化和一個平移。

總結

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