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UA SIE545 优化理论基础1 凸分析3 凸集与凸包

發布時間：2025/4/14 编程问答 32 豆豆

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UA SIE545 優化理論基礎1 凸分析3 凸集與凸包

基本概念與性質
- 凸集
- 凸組合
- 凸包

基本概念與性質

凸集

考慮數域 $F$ 上的線性空間 $V$ 。

定義一 凸集(convex set)。 $\subset V$ 為凸集，如果 $?x1,x2∈S\forall x_1,x_2 \in S$ , $?λ∈[0,1]\forall \lambda \in [0,1]$ , $λx1+(1?λ)x2∈S\lambda x_1+(1-\lambda)x_2 \in S$ 。

定理一 任意個凸集的交是凸集。
證明
考慮指標集 $I$ 以及一列凸集 $Si,i∈IS_{i},i \in I$ ，
$\bigcap_{i \in I}S_i$

$?x1,x2∈S\forall x_1,x_2 \in S$ , $x1,x2∈Si,?i∈Ix_1,x_2 \in S_i,\forall i \in I$ , 給定 $\in I$ ， $S_i$ 是凸集， $?λ∈[0,1]\forall \lambda \in [0,1]$ ， $λx1+(1?λ)x2∈Si\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2 \in S_i$ ，因此
$λx1+(1?λ)x2∈S\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2 \in S$

例1 歐式空間中的常見凸集：

線性流形；

開半空間(open half space)；

=\{x \in V:(x,b)>\beta\}

閉半空間(closed half space)；

=\{x \in V:(x,b)\ge\beta\}

多面體集合(polyhedral set)：任意個半空間的交，通常可以用矩陣

A

表示為

=\{x \in V:Ax\ge\beta\}

例二關于凸集封閉的集合運算

S1⊕S2={x1+x2:x1∈S1,x2∈S2}S_1 \oplus S_2=\{x_1+x_2:x_1 \in S_1,x_2 \in S_2\}

S1?S2={x1?x2:x1∈S1,x2∈S2}S_1 \ominus S_2=\{x_1-x_2:x_1 \in S_1,x_2 \in S_2\}

凸組合

定義二 凸組合(convex combination)。考慮 $?x1,?,xm∈V,?λ1,?,λm≥0\forall x_1,\cdots,x_m \in V,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_m \ge 0$ , $λ1+?+λm=1\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1$ ，稱 $x=λ1x1+?+λmxmx=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m$

為一個凸組合。凸組合與上一講定義的仿射組合非常相似，它們的本質都是一些特殊的線性組合，但凸組合對線性組合系數的要求比仿射組合更嚴格。

定理二 $\subset V$ 是凸集的充要條件為 $S$ 包含 $S$ 中任何向量的所有凸組合。

凸包

定義三 $\subset V$ ，稱凸包(convex hull) $c o n v S$ 是包含 $M$ 的最小凸集。
$convS={∑i=1mλixi:xi∈S,λi∈F,∑i=1mλi=1,λi≥0,m∈N}=?{Mconvex:M?S}convS=\{\sum_{i=1}^m \lambda_ix_i:x_i \in S,\lambda_i \in F,\sum_{i=1}^m \lambda_i=1,\lambda_i \ge 0,m \in \mathbb{N}\} \\ = \bigcap \{M\ convex:M \supset S\}$
定理二續 定理二的條件可以敘述為 $S = c o n v (S)$ 。

定義四 $V$ 中一個有限點集為 ${y0,?,ym}\{y_0,\cdots,y_m\}$ ，稱它的凸包為凸多面體(polytope)；如果 $y0,?,ymy_0,\cdots,y_m$ 仿射無關(affinely independent)，就稱它的凸包 $conv{y0,?,ym}conv\{y_0,\cdots,y_m\}$ 為單純形(simplex)。

總結

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