UA SIE545 優化理論基礎1 例題3 凸多面體的表示與線性規劃

這一講介紹多面體的表示算法，以及單純形的計算方法。考慮線性規劃：
$$\begin{gathered} \min c^{T}x \\ s.t.Ax=b,x\ge 0 \end{gathered}$$

它的可行域是$S=\{x:Ax=b,x\ge 0\}$，這是一個多面體，假設$x_1,?,x_k$是極點，$d_1,?,d_l$是極方向，$?x\in S$,
$$\begin{gathered} x=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j{x}_j+\sum _{j=1}^l{\mu }_j{d}_j \\ \sum _{j=1}^k{\lambda }_j=1,{\lambda }_j\ge 0,{\mu }_j\ge 0 \end{gathered}$$

如果$S$有界，它就沒有極方向；如果$S$無界，它至少有一個極方向。手動分析一個線性規劃問題時，根據最優解的存在性定理：如果$?j,c^T{d}_j\ge 0$, 則存在一個極點是最優解，我們需要先分析$S$的極點與極方向，然后用單純形法找出最優解。

例1
$$\begin{gathered} \min x_1?3x_2 \\ s.t.?x_1+2x_2\le 6 \\ {x}_1+x_2\le 5 \\ {x}_1,x_2\ge 0 \end{gathered}$$

改寫為標準形式，引入松弛變量$x_3,x_4\ge 0$,
$$\begin{gathered} \min x_1?3x_2 \\ s.t.?x_1+2x_2+x_3=6 \\ {x}_1+x_2+x_4=5 \\ {x}_1,x_2,x_3,x_4\ge 0 \end{gathered}$$

因此這個線性規劃的參數為
$$c=?\begin{array}{c}1\\ ?3\\ 0\\ 0\end{array}?,A=\left[\begin{array}{cccc}?1& 2& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right]$$

極點的計算方法
第一步，將$Ax=b$改寫為$B{x}_B+N{x}_N=b$，其中$B$是$A$列空間的一個極大無關組；
第二步，對于每一個$B$，極點滿足$x_B=B^{?1}b,x_N=0$

對于$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, $b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$, $B^{?1}b=\frac{1}{ad?bc}\left[\begin{array}{c}d{b}_1?b{b}_2\\ ?c{b}_1+a{b}_2\end{array}\right]$，這道題中$A$有6個可能的極大無關組，因此極點個數可能有六個。

比如選擇$B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$, 則$B^{?1}b=\left[\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right]$。

極方向的計算方法
假設已經完成了極點的第一步，如果$N=[a_1,a_2,?,a_{n?m}]$，并且存在$a_j$使得$B^{?1}{a}_j\le 0$，則極方向為
$$d=\left[\begin{array}{c}?B^{?1}{a}_j\\ e_j\end{array}\right]$$

其中$e_j$是$n?m$維了除了第$j$個元素為1其他元素均為0的向量。但這個例子中可行域有界，因此不存在極方向。

單純形法（表格形式）
決策變量為$x_B,x_N$，則目標函數為$c_B^T{x}_B+c_N^T{x}_N$，記目標函數值為$f$，則$f?c_B^T{x}_B?c_N^T{x}_N=0$，因此模型的表格形式為

1$?c_B^T$$?c_N^T$0

0	B	N	b

如果取$x_B=B^{?1}b$，則
$$\begin{gathered} c^{T}x=c_B^T{x}_B+c_N^T{x}_N=c_B^T{B}^{?1}b+c_N^T{x}_N \\ =c_B^T{B}^{?1}b+(c_N^T?c_B^T{B}^{?1}N)x_N \end{gathered}$$

因此$f+(c_N^T?c_B^T{B}^{?1}N)x_N=c_B^T{B}^{?1}b$，于是表格形式改寫為：

1$0^T$$?c_N^T+c_B^T{B}^{?1}N$$c_B^T{B}^{?1}b$

0	I	$B^{?1}N$	$B^{?1}b$

如果$?c_N^T+c_B^T{B}^{?1}N\le 0$，當前的極點就是最優點。在本例中應用單純形法：

第一步，選擇一個極點作為初始值，比如$x_B=[6,5{]}^{\prime }$，寫出表格形式：

f1-13000

$x_3$	0	-1	2	1	0	6
$x_4$	0	1	1	0	1	5

此時$?c_N^T+c_B^T{B}^{?1}N\le 0$不成立，
$?c_N^T+c_B^T{B}^{?1}N=?[0,0]+[?1,3]{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}^{?1}\left[\begin{array}{cc}?1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]=[4,1]$
我們觀察$A$的部分，發現第一行第二列系數最大，因此我們用第二列替換第三列作為$A$的極大無關組，表格形式改寫為（對第三列到第六列的2、3行做行變換，目標是把第四列變成1，0，第一行根據公式$?c_N^T+c_B^T{B}^{?1}N$填充）

f101/20-3/2-9

$x_2$	0	-1/2	1	1/2	0	3
$x_4$	0	3/2	0	-1/2	1	2

再觀察發現$3/2$最大，于是把$x_1$換到$x_4$的位置即可，最后會發現最優點就是$?x_1+2x_2=6,x_1+x_2=5$的交點。

總結

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