矩陣分析與多元統(tǒng)計(jì)II 二次型與二次曲面3 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義

上一講我們討論了二次齊次函數(shù)、對稱雙線性函數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，這一講我們從多項(xiàng)式的角度討論二次齊次函數(shù)，給出二次型的概念及其標(biāo)準(zhǔn)形；下一講介紹計(jì)算二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的方法；下下講介紹二次型的規(guī)范形；下下下講介紹正定二次型；然后分別介紹二次型在分析中的應(yīng)用、在解析幾何中的應(yīng)用。

定義1 $V$是數(shù)域$F$上的線性空間，$?x=(x_1,?,x_n{)}^{\prime }\in V$, 稱二次齊次多項(xiàng)式
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2+2\sum _{i<j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

為$F$上的一個(gè)$n$元二次型。當(dāng)$i<j$時(shí)，
$$2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ij}{x}_j{x}_i$$

令$a_{ij}=a_{ji}$，
$$f(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime }Ax$$

其中$A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$是一個(gè)對稱矩陣，稱$A$為二次型的矩陣。

定義2 假設(shè)$?C$, $x=Cy$，則稱$y$是$x$的一組線性替換，如果$\det C=0$，就稱這個(gè)線性替換是非退化的。

定理1
1）假設(shè)$f(x),g(y)$是兩個(gè)二次型，存在非退化的線性替換使得$f(x)=g(y)$的充要條件是它們的矩陣合同；
2）對任意二次型$f(x)$，存在非退化的線性替換使得
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{d}_i{y}_i^2$$

定義3 稱上式為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。下一講介紹計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形的方法，這一講剩余內(nèi)容討論定理1的證明。

證明定理1
記$A,B$為$f(x),g(y)$的矩陣。

評注1 矩陣的合同，假設(shè)$A,B$合同，則存在可逆矩陣$C$使得
$$C^{\prime }AC=B$$

記為$A?B$，可以驗(yàn)證合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。

證明1)
必要性：假設(shè)存在非退化的線性替換$x=Cy$，則
$$f(x)=x^{\prime }Ax=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=y^{\prime }(C^{\prime }AC)y=y^{\prime }By=g(y)$$

因此$A?B$；

充分性：假設(shè)$A?B$，存在可逆矩陣$C$，使得$C^{\prime }AC=B$，從而
$$g(y)=y^{\prime }By=y^{\prime }{C}^{\prime }ACy=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=x^{\prime }Ax=f(x)$$

如果$x=Cy$，顯然$f(x)=g(y)$。

證明2) 根據(jù)下面的引理，結(jié)合1）可以得出2）成立。
引理 對稱矩陣與(唯一的)對角矩陣合同。我們簡單證明一下這個(gè)引理。
根據(jù)譜定理（討論矩陣分解時(shí)介紹，這是譜分解的基礎(chǔ)），對任意Hermite矩陣$A$，存在由它的特征向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基$V$，以及代數(shù)重?cái)?shù)為1的實(shí)特征值，記$\Lambda$為一個(gè)對角陣，對角元為$A$的特征值，則
$$V^{?1}AV=\Lambda =V^{\prime }AV$$

因此$A$與(唯一)對角陣合同。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面3 二次型及其标准形的定义的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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