精算模型1 一元生存分析3 條件概率與截尾分布

• • 條件生存概率
  • 截尾分布
  • 中心死亡率

這一講介紹條件生存函數與截尾分布，主要需要的概念是條件概率，這一講提到的方法將在壽險精算數學與非壽險精算在保費厘定與調整等章節起到很大作用。

條件生存概率

定義1 條件生存概率與條件死亡概率。
記個體$(x)$在$n$年后仍然存活的概率為$p_x(n)$ (一般參考書把$n$寫成左下標，但我不知道怎么輸入)，
$$p_x(n)=\frac{P(T>x+n)}{P(T>x)}=\frac{S(x+n)}{S(x)}$$

記個體$(x)$在$n$年內死亡的概率為$q_x(n)$，
$$q_x(n)=1?p_x(n)=\frac{P(x<T\le x+n)}{P(T>x)}=\frac{S(x)?S(x+n)}{S(x)}$$

例1 計算上一講介紹的均勻分布、指數分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布剩余壽命下的條件生存概率與條件死亡概率。

截尾分布

定義2 左截尾（Left-truncated）分布
稱$T|T>y$的分布為左截尾分布，它表示$y$歲的個體剩余壽命的分布：

生存函數 $$P(T>x|T>y)=\frac{P(T>\max (x,y))}{P(T>y)}=\frac{S(\max (x,y))}{S(y)}$$考慮左截尾時，一般直接假設$x\ge y$，因此生存函數為$S(x)/S(y)$，記為$S(x|T>y)$，值得注意的是，如果取$x=y+n$，則生存函數為$S(y+n)/S(y)=p_y(n)$正好就是條件生存概率。

分布函數 $$P(T\le x|T>y)=\frac{P(y<T\le x)}{P(T>y)}=\frac{F(x)?F(y)}{1?F(y)}$$記為$F_T(x|T>y)$。

概率密度 $$f_T(x|T>y)=\frac{f(x)}{S(y)}$$

死亡率 $$h(x|T>y)=\frac{f_T(x|T>y)}{S(x|T>y)}=h(x)$$

例2 計算均勻分布、指數分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的左截尾分布。

定義3 雙截尾（Two-sided truncated）分布
稱$T|y<T\le z$的分布為雙截尾分布，它表示$y$歲的個體在接下來的$z$年內剩余壽命的分布：

生存函數$$S(x|y<T\le z)=\frac{P(y<T<x)}{P(y<T\le z)}=\frac{S(y)?S(x)}{S(y)?S(z)}$$

分布函數 $$F_T(x|y<T\le z)=\frac{F(x)?F(y)}{F(z)?F(z)}$$

概率密度 $$f_T(x|y<x\le z)=\frac{f(x)}{S(y)?S(z)}$$

死亡率 $$h(x|y<T\le z)=\frac{f(x)}{S(x)?S(z)}$$

例3 計算均勻分布、指數分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的雙截尾分布。

例4 計算均勻分布、指數分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下剩余壽命的雙截尾分布的期望與方差。

中心死亡率

定義4 中心死亡率。
中心死亡率衡量一段年齡區間$[x,x+n]$內危險率函數按生存概率的加權平均，用符號$m_x(n)$表示，
$$m_x(n)=\frac{{\int }_x^{x+n}S(t)h(t)dt}{{\int }_x^{x+n}S(t)dt}$$

根據危險率函數的定義，
$$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$$

分子上的積分可以寫為
$${\int }_x^{x+n}S(t)h(t)dt={\int }_x^{x+n}f(t)dt=P(x<T\le x+n)$$

也就是在年齡區間$[x,x+n]$內死亡的概率。根據生存函數的性質4，分母上的積分表示在年齡區間$[x,x+n]$內存活時間的期望，因此$m_x(n)$表示在年齡區間$[x,x+n]$平均每段存活時間死亡的概率。

例5 計算均勻分布、指數分布、Gompertz分布、Makeham分布與Weibull分布下在年齡區間$[x,x+n]$內的中心死亡率。

總結

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