R語言 非中心化F分布

• • 非中心化F分布的定義
  • R語言中的非中心化F分布

非中心化F分布的定義

非中心化的F分布有兩種不同的定義方式，這兩種不同的定義方式源于兩種不同的非中心化卡方分布的定義。

定義一（可以參考陳希孺的數理統計引論第一章） 假設$X_1,?,X_n$互相獨立，并且$X_i～N(a_i,1)$，則稱
$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2～{\chi }^2(n,\delta )$$

其中$n$代表樣本數，$\delta$是非中心化參數
$$\delta =\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$$

假設$X～{\chi }_{m,\delta }^2,Y～{\chi }_n^2$且二者獨立，則
$$Z=\frac{X/m}{Y/n}～F_{m,n,\delta }$$

定義二 （可以參考Monahan的A primer on linear model第五章）假設$X_1,?,X_n$互相獨立，并且$X_i～N(a_i,1)$，則稱$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2～{\chi }^2(n,\delta )$$

其中$n$代表樣本數，$\delta$是非中心化參數
$$\delta =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{a}_i^2$$

假設$X～{\chi }_{m,\delta }^2,Y～{\chi }_n^2$且二者獨立，則
$$Z=\frac{X/m}{Y/n}～F_{m,n,\delta }$$

我們記第一種定義的非中心化參數為${\delta }_1$，第二種定義的非中心化參數為${\delta }_2$，則
$${\delta }_1^2=2{\delta }_2$$

R語言中的非中心化F分布

R語言中使用F分布依靠下面四個函數，它們分別表示概率密度，分布函數、分位點以及隨機數。

現在假設大家對前三個參數是比較熟悉的，我們來討論一下第四個參數ncp(non-central parameter)，在R文檔中有這樣一句話：

The non-central F distribution is again the ratio of mean squares of independent normals of unit variance, but those in the numerator are allowed to have non-zero means and ncp is the sum of squares of the means.

也就是說在R語言中，非中心化F分布的ncp應該輸入${\delta }_1^2$。

例 用One-way ANOVA F檢驗來做兩樣本的t檢驗，檢驗的勢為$$\Phi =P(F>F_{1,n?2,1?\alpha }||{\mu }_1?{\mu }_2|=0)$$

其中$F～F_{1,n?2}(0.5(n^{?}{)}^2)$，
$$\frac{E{S}^2}{(n_1^{?1}+n_2^{?1})}=(n^{?}{)}^2$$

因為非中心化F分布的分布函數非常復雜，所以我們作圖展示這個檢驗的勢。假設$\alpha =0.05$, 兩樣本的樣本數相同($n_1=n_2$)，分別為5(綠線)\10(藍線)\20(紅線), 這張圖就是檢驗的勢關于effect size的絕對值$|ES|$的

alpha = 0.05 n1 = c(5,10,20) Critical_value = qf(1-alpha,1,(2*n1-2))ES = seq(0.1,10,by = 0.1) ncp1 = n1[1]*ES^2/2 Power1 = 1-pf(Critical_value[1],1,(2*n1[1]-2),ncp = ncp1) ncp2 = n1[2]*ES^2/2 Power2 = 1-pf(Critical_value[2],1,(2*n1[2]-2),ncp = ncp2) ncp3 = n1[3]*ES^2/2 Power3 = 1-pf(Critical_value[3],1,(2*n1[3]-2),ncp = ncp3)plot(Power1~ES,col = "green",type = "l", xlim = c(0,10), ylim = c(0,1)) par(new = T) plot(Power2~ES,col = "blue",type = "l", xlim = c(0,10), ylim = c(0,1)) par(new = T) plot(Power3~ES,col = "red",type = "l", xlim = c(0,10), ylim = c(0,1))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的R语言 非中心化F分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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