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UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步5 鞅的定义

發布時間：2025/4/14 编程问答 54 豆豆

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UA MATH563 概率論的數學基礎鞅論初步5 鞅的定義

從這一講開始，我們正式引入鞅(martingale)。稱 $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是鞅，如果

?n\forall n

，

X_n

絕對可積

{X_n\}

adapted to

{Fn}\{\mathcal{F}_n\}

E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=X_n

如果第三條改為 $E[Xn+1∣Fn]≥XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]\ge X_n$ 就是sub-martingale；如果第三條改為 $E[Xn+1∣Fn]≤XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]\le X_n$ 就是super-martingale。驗證一個隨機變量序列是鞅需要驗證上面這三條性質。

評注
假設 ${X_n\}$ 是一列定義在 $(Ω,B,P)(\Omega,\mathcal{B},P)$ 上的像空間為 $(R,B(R))(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 的隨機變量， $Fn\mathcal{F}_n$ 被稱為Natural Filtration，定義為
$Fn=σ({Xt?1(B):B∈B(R),t≤n})\mathcal{F}_n=\sigma(\{X_t^{-1}(B):B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),t \le n\})$

顯然 $Fn\mathcal{F}_n$ 是一個遞增的 $σ\sigma$ -代數序列。如果對任意 $n$ ， $X_n$ 是 $Fn\mathcal{F}_n$ 可測的，就稱 ${X_n\}$ adapted to ${Fn}\{\mathcal{F}_n\}$ ，在Natural Filtration下，這個結論自然成立。一種對Filtration更一般的定義是Filtration是一個遞增的 $σ\sigma$ -代數序列。

鞅的定義中的第三條還有下面兩種等價的敘述：

如果 $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 既是sub-martingale，也是super-martingale，那么 $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是鞅；
$E[Xn∣Fm]=Xm,?m≤nE[X_{n}|\mathcal{F}_m]=X_m,\forall m \le n$

第一種敘述是等價性敘述是很明顯，我們驗證一下第二種敘述也是等價性敘述。必要性顯然成立，下面說明充分性，
$E[Xn∣Fm]=E[E[Xn∣Fn?1]∣Fm]=E[Xn?1∣Fm]=E[E[Xn?1∣Fn?2]∣Fm]=E[Xn?2∣Fm]=E[Xm+1∣Fm]=XmE[X_n|\mathcal{F}_m]=E[E[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]|\mathcal{F}_m]=E[X_{n-1}|\mathcal{F}_m] \\ = E[E[X_{n-1}|\mathcal{F}_{n-2}]|\mathcal{F}_m]=E[X_{n-2}|\mathcal{F}_m] = E[X_{m+1}|\mathcal{F}_m]=X_m$

例1 驗證一個簡單隨機游走是鞅
${ξi}\{\xi_i\}$ 是一個iid隨機變量序列， $P(ξi=1)=ψ,P(ξi=?1)=1?ψP(\xi_i=1)=\psi,P(\xi_i=-1)=1-\psi$ , $ψ∈(0,1)\psi \in (0,1)$ ，記 $Xn=∑i=1nξiX_n = \sum_{i=1}^n \xi_i$ ，定義Filtration為
$Fn=σ({Xk:k≤n})=σ({ξi:i≤n})\mathcal{F}_n=\sigma(\{X_k:k\le n\})=\sigma(\{\xi_i:i \le n\})$

則 $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是鞅等價于 $ψ=1/2\psi=1/2$ ， $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是sub-martingale等價于 $ψ≥1/2\psi \ge 1/2$ 。

證明
i) 說明 $X_n$ 絕對可積，
$∣Xn∣=∣∑i=1nξi∣≤∑i=1n∣ξi∣=n|X_n|=|\sum_{i=1}^n \xi_i| \le \sum_{i=1}^n |\xi_i| = n$

因此 $E∣Xn∣≤nE|X_n| \le n$ 。

ii) 顯然 $?B∈B(R)\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ， $Xn?1(B)∈σ({Xk:k≤n})X_n^{-1}(B) \in \sigma(\{X_k:k \le n\})$ ， $X_n$ adapted to $Fn\mathcal{F}_n$ 。

iii) 計算
$E[Xn+1∣Fn]=E[ξn+1+Xn∣Fn]=E[ξn+1∣Fn]+Xn=E[ξn+1]+Xn=2ψ?1+Xn{≤Xn,ψ≤1/2=Xn,ψ=1/2≥Xn,ψ≥1/2E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[\xi_{n+1}+X_n|\mathcal{F}_n]=E[\xi_{n+1}|\mathcal{F}_n]+X_n \\ = E[\xi_{n+1}]+X_n =2\psi-1+X_n \begin{cases} \le X_n,\psi \le 1/2 \\ = X_n , \psi = 1/2 \\ \ge X_n , \psi \ge 1/2 \end{cases}$

所以 $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是鞅等價于 $ψ=1/2\psi=1/2$ ， $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是sub-martingale等價于 $ψ≥1/2\psi \ge 1/2$ ， $(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)$ 是super-martingale等價于 $ψ≤1/2\psi \le 1/2$ 。

例2 用條件期望構造鞅
假設 ${Fn}\{\mathcal{F}_n\}$ 是一列Filtration，假設 $X$ adapted to ${Fn}\{\mathcal{F}_n\}$ ，則 $(E[X∣Fn],Fn)(E[X|\mathcal{F}_n],\mathcal{F}_n)$ 是鞅。

證明
i) 說明 $Xn?E[X∣Fn]X_n \triangleq E[X|\mathcal{F}_n]$ 可積，條件期望可積這個結論我們在上一講證過。

ii) 根據條件期望的定義， $E[X∣Fn]∈FnE[X|\mathcal{F}_n] \in \mathcal{F}_n$

iii) 根據Tower Property計算
$E[Xn+1∣Fn]=E[E[X∣Fn+1]∣Fn]=E[X∣Fn]=XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=E[E[X|\mathcal{F}_{n+1}]|\mathcal{F}_n]=E[X|\mathcal{F}_n]=X_n$

總結

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