初等數學O 集合論基礎 第二節 映射與集合的勢

這一節的目標是基于映射建立比較集合“大小”的工具——集合的勢(cardinality)，也被稱為集合的基數，這個工具是自然數的基數理論的基礎。

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定義0.6 映射 $X,Y$是兩個非空集合，稱$f:X\to Y$是一個映射，如果
$$?x\in X,?!y\in Y,f(x)=y$$

稱$X$為原像空間，$Y$為像空間，$f(X)$是值域，$f^{?1}(A)$是集合$A$的拉回(pre-image)，$?A?f(X)$
$$\begin{gathered} f(X)=\{y\in Y:?x\in X,f(x)=y\} \\ {f}^{?1}(A)=\{x\in X:f(x)=y,y\in A\} \end{gathered}$$

根據值域與拉回的定義，我們可以直接獲得下面的恒等式
$$f^{?1}(f(X))=X$$

用逐個元素的方式表述單射、滿射、雙射：

稱$f:X\to Y$是一個單射，如果
$$?x_1,x_2\in X,x_1=x_2?f(x_1)=f(x_2)$$

稱$f:X\to Y$是一個滿射，如果
$$?y\in Y,?x\in X,f(x)=y$$

稱$f:X\to Y$是一個雙射，如果$f$既是單射也是滿射，或者說
$$?y\in Y,?!x\in X,f(x)=y$$

用集合的方式表述單射、滿射、雙射：
稱$f:X\to Y$是一個單射，如果
$$f(X)?Y$$

稱$f:X\to Y$是一個滿射，如果
$$f^{?1}(Y)?X$$

稱$f:X\to Y$是一個雙射，如果$f$既是單射也是滿射，或者說
$$Y=f(X)$$

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定義0.7 集合的勢
如果$n$是一個有限的數，假設$f:X\to \{1,2,?,n\}$是一個雙射，我們就稱集合$X$的勢為$n$，也就是集合$X$有$n$個元素，記為$|X|=n$

注 按這個定義我們只能處理有限個元素的集合，為了這個工具使用范圍更廣，我們需要擴充我們的工具箱，這就需要借助映射對勢進行公理化定義。

定義0.8 勢的大小關系
考慮映射$f:X\to Y$，如果

$f$是一個單射，則$|X|\le |Y|$

$f$是一個滿射，則$|X|\ge |Y|$

$f$是一個雙射，則$|X|=|Y|$

評注0.2 集合的大小關系有很多種定義方式，比如集合的包含關系就是一種比較集合“大小”的方法，再比如集合的勢也是比較集合“大小”的方法，具體采用什么方法比較兩個集合取決于我們想要保留的元素的“屬性”。如果我們用集合的包含關系定義集合的“大小”，那么被比較大小的兩個集合一定有部分元素是同質的，所以才會出現包含關系；如果我們用集合的勢定義集合的大小關系，那么被比較大小的兩個集合的元素本身的屬性就被摒棄了，剩下的只是元素作為“計數工具”的性質，比如一個集合中的元素是貓、另一個集合中的元素是老鼠，那么在用勢比較集合大小時，貓和老鼠的各種理化生屬性都被我們忽略了，最后剩下的計數作用意味著一只貓表示1，一只老鼠也表示1。所以勢這種工具更加抽象化、公理化，這也是為什么基于勢可以進一步定義出自然數的概念的原因。

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下面介紹勢的一些簡單性質。
定理0.2 $$|X|\le |Y|?|Y|\ge |X|$$

證明
$?$: $|X|\le |Y|$說明存在$f:X\to Y$，且$f$是單射，取$x_0\in X$，定義$g:Y\to X$滿足
$$g(y)=\{\begin{array}{l}{x}_0,y\in Y?f(X)\\ f^{?1}(y),y\in f(X)\end{array}$$

顯然$g$是一個滿射，因此$|Y|\ge |X|$。

$?$: $|Y|\ge |X|$說明存在$g:Y\to X$，且$g$是滿射，因此集列$\{g^{?1}(\{x\}):x\in X\}$中的元素非空且無交，我們從$g^{?1}(\{x\})$中任取一個元素，記為$a_x$，并構造映射$f:X\to Y$滿足$f(x)=a_x,?x\in X$，顯然$f$是一個單射，因此$|X|\le |Y|$。
證畢

定理0.3 對任意集合$X,Y$，要么$|X|\le |Y|$，要么$|X|\ge |Y|$

定理0.4 Schroeder-Bernstein定理 對任意集合$X,Y$，如果$|X|\le |Y|$并且$|X|\ge |Y|$，則$|X|=|Y|$
證明
如果$|X|\le |Y|$并且$|X|\ge |Y|$，則存在$f:X\to Y$, $g:Y\to X$是單射，根據單射的集合定義，$f(X)?Y$，于是我們可以把$Y$分成兩部分，
$$Y=f(X)?(Y?f(X))$$

另外，$g$也是單射，因此$g(Y)?X$，我們可以把$X$分為三部分
$$X=g(f(X))?g(Y?f(X))?(X?g(Y))$$

基于這個發現我們可以定義一個映射$h:X\to Y$，滿足
$$h(x)=\{\begin{array}{l}f(x),x\in g(f(X))?(X?g(Y))\\ g^{?1}(x),x\in g(Y?f(X))\end{array}$$

則$h$是一個雙射，所以$|X|=|Y|$。
證畢

評注0.3

• 證明勢的大小關系依據定義0.8，要證明$|X|\le |Y|$，只需要構造一個$X\to Y$的映射并說明它是單射即可，其他情況類似，因為按照定義，我們需要驗證這樣的映射的存在性，一般而言說明存在性的方法就是做構造性證明。
• 定理0.2充分性的證明實際上用到了選擇公理，它保證對任何$g^{?1}(\{x\})$，我們可以選擇出一個元素作為某個映射的像，另外，要讓定理充分性的證明更加嚴謹，我們還需要說明$f$是一個良定義，也就是不管我們從$g^{?1}(\{x\})$中選擇的是$a_x$還是$b_x$，$f$都是一個映射。關于良定義的驗證我們在介紹了二元關系與等價類之后再引入。
• 定理0.3的證明需要用到序關系，所以此處暫時略去證明。
• 這三個定理給后面自然數的基數理論中建立自然數的大小關系提供了基礎。

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下面介紹一種有趣的集列——冪集(power set)。

定義0.9 冪集
假設$X$是一個非空集合，稱它的所有子集構成的集列為它的冪集，記為$\mathcal{P}(X)$，即
$$\mathcal{P}(X)=\{E:E?X\}$$

定理0.5 對任意非空集合
$$|X|<|\mathcal{P}(X)|$$

當$X$元素個數有限，或者說當$|X|=n$時，$|\mathcal{P}(X)|=2^n$。

證明

第一部分：說明存在$X\to \mathcal{P}(X)$的不是滿射的單射，考慮$f:X\to \mathcal{P}(X)$滿足
$$f(x)=\{x\}$$

顯然$f$是單射但不是滿射，因此$$|X|<|\mathcal{P}(X)|$$

第二部分：假設$X$有$n$個元素，則$X$有$2^n$個子集，所以$|\mathcal{P}(X)|=2^n$，這個結論并不能簡單地推廣到無窮個元素的情況，我們會在介紹到自然數的時候開始逐步引入無窮的概念。

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最后我們介紹一些拉回(pre-image)的運算性質。

定理0.6假設$f:X\to Y$是一個映射，$\{E_i{\}}_{i=1}^n$是一個集列，$?i\in \{1,?,n\}$，$E_i?Y$，則下面的結論成立

$f^{?1}({?}_{i=1}^n{E}_i)={?}_{i=1}^n{f}^{?1}(E_i)$

$f^{?1}({?}_{i=1}^n{E}_i)={?}_{i=1}^n{f}^{?1}(E_i)$

$f^{?1}(E_i^C)=(f^{?1}(E_i){)}^C,?i\in \{1,?,n\}$

證明
這三個結論的證明方法就是上一講介紹的證明集合相等的方法，套路比較固定。

i）$?y\in f^{?1}({?}_{i=1}^n{E}_i)$, $?x\in {?}_{i=1}^n{E}_i$, $f(x)=y$，因為$x\in {?}_{i=1}^n{E}_i$，$?i\in \{1,?,n\}$, $x\in E_i$，于是$y\in f^{?1}(E_i)?{?}_{i=1}^n{f}^{?1}(E_i)$。

ii）$?y\in f^{?1}({?}_{i=1}^n{E}_i)$, $?x\in {?}_{i=1}^n{E}_i$, $f(x)=y$，因為$x\in {?}_{i=1}^n{E}_i$，$?i\in \{1,?,n\}$, $x\in E_i$，于是$?i\in \{1,?,n\},y\in f^{?1}(E_i)?y\in {?}_{i=1}^n{f}^{?1}(E_i)$。

iii）$?y\in f^{?1}(E_i^C)$, 不存在$x\in E_i$, 使得$f(x)=y$，于是$y\in /f^{?1}(E_i)$，那么$y\in (f^{?1}(E_i){)}^C$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数学O 集合论基础 第二节 映射与集合的势的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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