UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 控制收敛定理计算一元积分的极限
UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 控制收斂定理計算一元積分的極限
例 假設g∈C1([0,∞)),g′g \in C^1([0,\infty)),g'g∈C1([0,∞)),g′有界，g(0)=0g(0)=0g(0)=0，計算
lim?n→∞n∫0∞g(x/n)xe?xdx\lim_{n \to \infty} n\int_0^{\infty} \frac{g(x/n)}{x}e^{-x}dxn→∞lim?n∫0∞?xg(x/n)?e?xdx
解 記fn(x)=ng(x/n)xe?x=g(x/n)x/ne?x=g(x/n)?g(0)x/n?0e?xf_n(x)=n\frac{g(x/n)}{x}e^{-x} =\frac{g(x/n)}{x/n}e^{-x}=\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0}e^{-x}fn?(x)=nxg(x/n)?e?x=x/ng(x/n)?e?x=x/n?0g(x/n)?g(0)?e?x
基于這個觀察，當n→∞n \to \inftyn→∞時，顯然第一個因式就是一個導數，用Lagrange中值定理，?ξx,n∈[0,x/n]\exists \xi_{x,n} \in [0,x/n]?ξx,n?∈[0,x/n],
g(x/n)?g(0)x/n?0=g′(ξx,n)\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0} = g'(\xi_{x,n})x/n?0g(x/n)?g(0)?=g′(ξx,n?)
因為g′g'g′有界，?M>0\exists M>0?M>0, ∣g′(ξx,n)∣≤M|g'(\xi_{x,n})| \le M∣g′(ξx,n?)∣≤M，所以
∣fn(x)∣=∣g′(ξx,n)∣e?x≤Me?x∈L1|f_n(x)| = |g'(\xi_{x,n})|e^{-x}\le Me^{-x} \in L^1∣fn?(x)∣=∣g′(ξx,n?)∣e?x≤Me?x∈L1
因此我們可以對原問題使用控制收斂定理交換極限與積分的順序。注意到?x∈[0,∞)\forall x \in [0,\infty)?x∈[0,∞)
lim?n→∞fn(x)=lim?n→∞g(x/n)?g(0)x/n?0e?x=g′(0)e?x\lim_{n \to \infty}f_n(x) = \lim_{n \to \infty}\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0}e^{-x}=g'(0)e^{-x}n→∞lim?fn?(x)=n→∞lim?x/n?0g(x/n)?g(0)?e?x=g′(0)e?x
第二個等號的依據是g∈C1g \in C^1g∈C1，所以g′g'g′是連續的。根據控制收斂定理，
lim?n→∞n∫0∞g(x/n)xe?xdx=∫0∞g′(0)e?xdx=g′(0)\lim_{n \to \infty} n\int_0^{\infty} \frac{g(x/n)}{x}e^{-x}dx = \int_0^{\infty}g'(0)e^{-x}dx=g'(0)n→∞lim?n∫0∞?xg(x/n)?e?xdx=∫0∞?g′(0)e?xdx=g′(0)
總結
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