初等数学O 集合论基础 第四节 二元关系、等价类与运算
初等數(shù)學(xué)O 集合論基礎(chǔ) 第四節(jié) 二元關(guān)系、等價(jià)類與運(yùn)算
這一講的目標(biāo)是在非空集合上定義關(guān)系與運(yùn)算，我們學(xué)過(guò)的常見(jiàn)的關(guān)系有大小關(guān)系、整除關(guān)系、同余關(guān)系等；常見(jiàn)的運(yùn)算有四則運(yùn)算、乘方運(yùn)算、開(kāi)方運(yùn)算等，但這一講要做的事情是給出關(guān)系與運(yùn)算的更抽象的定義，使在任意集合上定義關(guān)系與運(yùn)算變得可能。
之所以要引入關(guān)系與運(yùn)算是因?yàn)榍叭v介紹的工具大部分都是處理集合運(yùn)算的，而能夠處理集合元素的工具只有序關(guān)系，為了讓集合論起更大的作用，我們需要擴(kuò)充能夠處理集合元素的工具箱。
在正式引入關(guān)系與運(yùn)算前，我們先介紹一個(gè)重要的工具——笛卡爾積(Cartesian Product)。
定義0.13 笛卡爾積（或稱為直積）
假設(shè)X,YX,YX,Y是兩個(gè)非空集合，定義它們的笛卡爾積為
X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}X \times Y = \{(x,y):x \in X,y \in Y\}X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}
假設(shè){Xi}i=1n\{X_i\}_{i=1}^n{Xi?}i=1n?是有限個(gè)非空集合，定義它們的笛卡爾積為
∏i=1nXi={x=(x1,x2,?,xn):xi∈Xi,i=1,?,n}\prod_{i=1}^n X_i = \{x=(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_i \in X_i,i=1,\cdots,n\}i=1∏n?Xi?={x=(x1?,x2?,?,xn?):xi?∈Xi?,i=1,?,n}
比如X=Y=RX=Y=\mathbb{R}X=Y=R，即X,YX,YX,Y都是一根數(shù)軸，則X×Y=R2X\times Y=\mathbb{R}^2X×Y=R2，也就是X×YX \times YX×Y就成了平面直角坐標(biāo)系。
評(píng)注0.6
i) 集合的笛卡爾積與原集合之間自然就存在一個(gè)映射πi:∏i=1nXi→Xi\pi_i:\prod_{i=1}^n X_i \to X_iπi?:∏i=1n?Xi?→Xi?，滿足
πi(x)=xi\pi_i(x)=x_iπi?(x)=xi?
顯然這個(gè)映射是一個(gè)單射，通常我們稱這個(gè)映射為projection，因?yàn)樗褪?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">nnn維直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)向第iii個(gè)軸的投影。比如在平面直角坐標(biāo)系中，
πx((x,y))=x,πy((x,y))=y\pi_x((x,y))=x,\pi_y((x,y))=yπx?((x,y))=x,πy?((x,y))=y
分別表示平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)到xxx軸、yyy軸的投影。在數(shù)學(xué)分析與實(shí)分析中，這個(gè)映射是非常有用的。
ii）我們回顧一下第三講選擇公理的敘述，一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合。對(duì)于
∏i=1nXi={x=(x1,x2,?,xn):xi∈Xi,i=1,?,n}\prod_{i=1}^n X_i = \{x=(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_i \in X_i,i=1,\cdots,n\}i=1∏n?Xi?={x=(x1?,x2?,?,xn?):xi?∈Xi?,i=1,?,n}
這個(gè)集合非空說(shuō)明至少存在一個(gè)x∈∏i=1nXix \in \prod_{i=1}^n X_ix∈∏i=1n?Xi?， x=(x1,x2,?,xn)x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)x=(x1?,x2?,?,xn?)，因此在每一個(gè)非空集合中，都可以選出一個(gè)元素xix_ixi?。看上去這個(gè)結(jié)果很顯然，既然都是非空集合了，那集合里肯定至少要有一個(gè)元素，所以肯定可以選出一個(gè)來(lái)，這也是為什么我們接受它是一個(gè)公理的原因。之所以需要這樣一個(gè)公理是為了回答羅素悖論，感興趣的讀者可以自行查閱。
定義0.14 二元關(guān)系(Binary relation)
假設(shè)X,YX,YX,Y是兩個(gè)非空集合，R?X×YR \subseteq X \times YR?X×Y
R={(x,y):x∈πx(R),y∈πy(R)}R=\{(x,y):x \in \pi_x(R),y \in \pi_y(R)\}R={(x,y):x∈πx?(R),y∈πy?(R)}
我們稱?(x,y)∈R\forall (x,y) \in R?(x,y)∈R, xxx與yyy之前存在某種二元關(guān)系，記為xRyxRyxRy。
比如X=Y=RX=Y=\mathbb{R}X=Y=R，考慮小于等于這種二元關(guān)系，xRy=x≤yxRy=x \le yxRy=x≤y，則顯然
R={(x,y):x∈R,y∈R,x≤y}R=\{(x,y):x \in \mathbb{R},y\in \mathbb{R},x \le y\}R={(x,y):x∈R,y∈R,x≤y}
也就是下圖中紅色的區(qū)域：
有一些特殊的二元關(guān)系：
下面定義的等價(jià)關(guān)系也是一類特殊的二元關(guān)系
定義0.15 等價(jià)關(guān)系
XXX是非空集合，R?X×XR \subseteq X \times XR?X×X表示一個(gè)二元關(guān)系，稱RRR是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如果?x,y,z∈R\forall x,y,z \in R?x,y,z∈R
如果RRR是等價(jià)關(guān)系，我們通常用x～yx \sim yx～y來(lái)表示xRyxRyxRy
例0.7 恒等關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。
證
方法：用集合表示二元關(guān)系
假設(shè)XXX是非空集合，
R={(x,x):x∈X}?XR = \{(x,x):x \in X\} \subseteq XR={(x,x):x∈X}?X
驗(yàn)證RRR滿足等價(jià)關(guān)系的三個(gè)條件。
自反性，顯然(x,x)∈R(x,x) \in R(x,x)∈R；
對(duì)稱性，如果(x,y)∈R(x,y) \in R(x,y)∈R，則y=xy=xy=x，因此(y,x)=(x,x)∈R(y,x)=(x,x) \in R(y,x)=(x,x)∈R
傳遞性，如果(x,y),(y,z)∈R(x,y),(y,z) \in R(x,y),(y,z)∈R, 則y=x,z=y?z=xy=x,z=y \Rightarrow z=xy=x,z=y?z=x，因此(z,x)=(x,x)∈R(z,x)=(x,x) \in R(z,x)=(x,x)∈R。
等價(jià)關(guān)系有一個(gè)非常重要的作用，對(duì)集合進(jìn)行分割，我們先介紹分割的含義，然后再說(shuō)明如何用等價(jià)關(guān)系分割集合。
定義0.16 分割
假設(shè)XXX是一個(gè)非空集合，如果存在{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di?}i=1n?使得
X=?i=1nDiX = \bigsqcup_{i=1}^n D_iX=i=1?n?Di?
則{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di?}i=1n?是XXX的一個(gè)分割。
定理0.8 假設(shè)非空集合XXX的勢(shì)∣X∣|X|∣X∣有限，{Di}i=1n\{D_i\}_{i=1}^n{Di?}i=1n?是XXX的一個(gè)分割，則
∣X∣=∑i=1n∣Di∣|X|=\sum_{i=1}^n|D_i|∣X∣=i=1∑n?∣Di?∣
注 這個(gè)定理非常顯然，可以用容斥原理直接獲得。
例0.8 我們用幾何分布介紹一下分割。古典概型認(rèn)為某個(gè)事件的概率等于這個(gè)事件包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù)。用XXX表示所有可能的基本事件的集合，則XXX中的元素表示基本事件，∣X∣|X|∣X∣表示基本事件總數(shù)。用集合AAA表示某個(gè)事件，A?XA \subseteq XA?X，∣A∣|A|∣A∣表示這個(gè)事件包含的基本事件數(shù)。根據(jù)古典概型的含義，事件AAA的概率為
P=∣A∣∣X∣P = \frac{|A|}{|X|}P=∣X∣∣A∣?
現(xiàn)在我們討論一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)我們拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，用AkA_kAk?表示在第kkk次拋擲時(shí)第一次數(shù)字朝上，那么我們應(yīng)該如何根據(jù)古典概型計(jì)算AkA_kAk?的概率？按照上面的討論，我們需要計(jì)算
P=∣Ak∣∣X∣P = \frac{|A_k|}{|X|} P=∣X∣∣Ak?∣?
假設(shè)xi=1x_i=1xi?=1表示第iii次拋擲時(shí)數(shù)字朝上
X={(x1,x2,?,xn,?):xi∈{0,1},?n≥1}Ak={(x1,?,xk,?):xj=0,?j<k,xk=1}X=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots):x_i \in \{0,1\},\forall n \ge 1\} \\ A_k = \{(x_1,\cdots,x_k,\cdots):x_j = 0,\forall j <k,x_k=1\}X={(x1?,x2?,?,xn?,?):xi?∈{0,1},?n≥1}Ak?={(x1?,?,xk?,?):xj?=0,?j<k,xk?=1}
這個(gè)基本事件全體說(shuō)明有可能我們會(huì)投擲無(wú)窮次硬幣才會(huì)得到一次數(shù)字朝上，這種可能性導(dǎo)致∣X∣|X|∣X∣一定是無(wú)窮，這樣的話要用古典概型處理這個(gè)問(wèn)題就很困難了，因?yàn)槲覀冞€沒(méi)有定義無(wú)窮以及一個(gè)數(shù)除以無(wú)窮。因此我們考慮對(duì)XXX做分割，事實(shí)上{Ak}k=1∞\{A_k\}_{k=1}^{\infty}{Ak?}k=1∞?就是XXX的一個(gè)分割：
X=?k=1∞AkX = \bigsqcup_{k=1}^{\infty}A_kX=k=1?∞?Ak?
讀者可以自行驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。因此
P=∣Ak∣∑j=1∞∣Aj∣P = \frac{|A_k|}{\sum_{j=1}^{\infty}|A_j|}P=∑j=1∞?∣Aj?∣∣Ak?∣?
這就是正式導(dǎo)出幾何分布的思路。
等價(jià)關(guān)系可以提供一種構(gòu)造分割的方法，這種方法是通過(guò)等價(jià)關(guān)系導(dǎo)出的等價(jià)類來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
定義0.16 等價(jià)類
假設(shè)XXX是非空集合，～\sim～是XXX上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，稱[x][x][x]是一個(gè)等價(jià)類
[x]={y∈X:x～y}[x]=\{y \in X:x\sim y\}[x]={y∈X:x～y}
評(píng)注0.7
i) 根據(jù)這個(gè)定義，xxx的等價(jià)類就是XXX中所有與xxx等價(jià)的元素的集合。
ii）我們需要說(shuō)明[x][x][x]這個(gè)記號(hào)是良定義的，即?z～x\forall z \sim x?z～x, [z]=[x][z]=[x][z]=[x]，也就是要說(shuō)明等價(jià)類的符號(hào)可以用等價(jià)類中任何一個(gè)元素表示。
[z]?[x][z] \subseteq [x][z]?[x]：?y∈[z]\forall y \in [z]?y∈[z], y～zy \sim zy～z，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">z～xz \sim xz～x，根據(jù)傳遞性，y～xy \sim xy～x，因此y∈[x]y \in [x]y∈[x]；
[x]?[z][x] \subseteq [z][x]?[z]：?y∈[x]\forall y \in [x]?y∈[x], y～xy \sim xy～x，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">z～xz \sim xz～x，根據(jù)傳遞性，y～zy \sim zy～z，因此y∈[z]y \in [z]y∈[z]；
因此?z～x\forall z \sim x?z～x, [z]=[x][z]=[x][z]=[x]，即[x][x][x]這個(gè)記號(hào)是良定義的。
iii）不同的兩個(gè)等價(jià)類不相交，假設(shè)xxx與yyy不等價(jià) (x?yx \nsim yx?y)，則[x]∩[y]=?[x] \cap [y]=\phi[x]∩[y]=?。一種說(shuō)明兩個(gè)集合不相交的方法是說(shuō)明?z∈[x]\forall z \in [x]?z∈[x], z?[y]z \notin [y]z∈/?[y]：
用反證法，假設(shè)z∈[y]z \in [y]z∈[y]，則z～yz \sim yz～y，又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">z∈[x]z \in [x]z∈[x]，即z～xz \sim xz～x，根據(jù)傳遞性，x～yx \sim yx～y，這與xxx與yyy不等價(jià)矛盾。所以[x]∩[y]=?[x] \cap [y]=\phi[x]∩[y]=?。
定理0.9 假設(shè)XXX是一個(gè)非空集合，～\sim～是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則存在XXX的子集SSS滿足
S=?F∈FFF={F:?x,y∈F,x?y}S = \bigcup_{F \in \mathcal{F}} F \\ \mathcal{F}=\{F:\forall x,y \in F, x \nsim y\}S=F∈F??FF={F:?x,y∈F,x?y}
也就是說(shuō)SSS是"最大的"包含的元素的互不等價(jià)的XXX的子集，使得
X=?s∈S[s]X = \bigsqcup_{s \in S}[s]X=s∈S??[s]
這個(gè)結(jié)果的意思是XXX可以分解為～\sim～定義的所有等價(jià)類的無(wú)交并。這個(gè)結(jié)果比較顯然，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">XXX中的元素一定屬于某個(gè)等價(jià)類，而不同的等價(jià)類交集為空。
例0.9 基于等價(jià)類分割集合。
考慮整數(shù)集Z\mathbb{Z}Z，假設(shè)等價(jià)關(guān)系～\sim～表示關(guān)于3的余數(shù)相同，讀者可以自行驗(yàn)證這個(gè)是等價(jià)關(guān)系，則基于這個(gè)等價(jià)關(guān)系我們可以定義三個(gè)等價(jià)類：
[0]={z∈Z:?n∈Z,z=3n}[1]={z∈Z:?n∈Z,z=3n+1}[2]={z∈Z:?n∈Z,z=3n+2}[0] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n\} \\ [1] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n+1\} \\ [2] = \{z \in \mathbb{Z}:\exists n \in \mathbb{Z},z = 3n+2\}[0]={z∈Z:?n∈Z,z=3n}[1]={z∈Z:?n∈Z,z=3n+1}[2]={z∈Z:?n∈Z,z=3n+2}
根據(jù)定理0.9，
Z=[0]?[1]?[2]\mathbb{Z}=[0] \sqcup [1] \sqcup [2]Z=[0]?[1]?[2]
這個(gè)結(jié)果說(shuō)明我們可以把所有的整數(shù)分為三類，能被3整除的，被3除余1的，被3除余2的。
最后我們定義一下二元運(yùn)算。
定義0.17 二元運(yùn)算
假設(shè)XXX是一個(gè)非空集合，稱定義在X×XX \times XX×X上的映射fff是一個(gè)二元運(yùn)算；如果f(X×X)?Xf(X \times X) \subseteq Xf(X×X)?X，就稱二元運(yùn)算fff在XXX上封閉。
比如X=ZX=\mathbb{Z}X=Z，定義整數(shù)的加法為
f:Z×Z→Zf(x,y)=x+yf: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to\mathbb{Z} \\ f(x,y)=x+yf:Z×Z→Zf(x,y)=x+y
顯然加法是一個(gè)二元運(yùn)算，并且在整數(shù)集上封閉。我們也可以定義整數(shù)的乘法，
g:Z×Z→Zg(x,y)=xyg: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to\mathbb{Z} \\ g(x,y)=xyg:Z×Z→Zg(x,y)=xy
顯然乘法是一個(gè)二元運(yùn)算，并且在整數(shù)集上封閉。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的初等数学O 集合论基础 第四节 二元关系、等价类与运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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