UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 Fubini定理計算簡單二重積分的一個例題

例 $f\in L^1([0,1])$, define
$$h(x)={\int }_x^1\frac{f(t)}{t}dt,?x\in [0,1]$$

Prove

$h\in L^1([0,1])$

${\int }_0^{1}h(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx$

解
第一問：要說明$h\in L^1([0,1])$，需要說明$${\int }_0^1|h(x)|dx<\infty$$直接計算
$$\begin{gathered} {\int }_0^1|h(x)|dx={\int }_0^1\left|{\int }_x^1\frac{f(t)}{t}dt\right|dx \\ \le {\int }_0^1{\int }_x^1\left|\frac{f(t)}{t}\right|dtdx={\int }_0^1{\int }_0^1\left|\frac{f(t)}{t}\right|{\chi }_{[x,1]}(t)dtdx \end{gathered}$$

根據Tonelli定理，以及$f\in L^1([0,1])$
$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\int }_0^1\left|\frac{f(t)}{t}\right|{\chi }_{[x,1]}(t)dtdx={\int }_0^1{\int }_0^1\left|\frac{f(t)}{t}\right|{\chi }_{[x,1]}(t)dxdt \\ ={\int }_0^1{\int }_0^t\left|\frac{f(t)}{t}\right|dxdt={\int }_0^1|f(t)|dt<\infty \end{gathered}$$

第二問：根據Fubini定理，
$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}h(x)dx={\int }_0^1{\int }_x^1\frac{f(t)}{t}dtdx \\ ={\int }_0^1{\int }_0^t\frac{f(t)}{t}dxdt={\int }_0^{1}f(t)dt \end{gathered}$$

總結

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