UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 证明函数列L1收敛的一个题目
UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 證明函數列L1收斂的一個題目
例 假設fnf_nfn?在[0,1][0,1][0,1]上絕對連續，fn(0)=0,?n≥1f_n(0)=0,\forall n \ge 1fn?(0)=0,?n≥1，并且fn′→L1gf'_n \to_{L^1} gfn′?→L1?g，證明
證
第一問：fnf_nfn?在[0,1][0,1][0,1]上絕對連續說明?n≥1,x∈[0,1]\forall n \ge 1,x \in [0,1]?n≥1,x∈[0,1],
fn(x)=∫0xfn′(t)dtf_n(x) = \int_0^x f_n'(t)dtfn?(x)=∫0x?fn′?(t)dt
定義
f(x)=∫0xg(t)dtf(x) = \int_0^x g(t)dtf(x)=∫0x?g(t)dt
因為g∈L1([0,1])g \in L^1([0,1])g∈L1([0,1]), 所以fff是絕對連續的，下面我們說明fn→L1ff_n \to_{L^1} ffn?→L1?f，
∫01∣fn(x)?f(x)∣dx=∫01∣∫0xfn′(t)dt?∫0xgdt∣dx≤∫01∫0x∣fn′(t)?g(t)∣dtdx≤∫01∫01∣fn′(t)?g(t)∣dtdx=∫01∣fn′(t)?g(t)∣dt=∥fn′?g∥L1→0\int_0^1 |f_n(x)-f(x)|dx = \int_0^1 \left|\int_0^x f_n'(t)dt-\int_0^x gdt \right|dx \\ \le \int_0^1\int_0^x |f_n'(t)-g(t)|dtdx \le \int_0^1\int_0^1 |f_n'(t)-g(t)|dtdx \\ =\int_0^1 |f_n'(t)-g(t)|dt = \left\| f_n'-g\right\|_{L^1} \to 0∫01?∣fn?(x)?f(x)∣dx=∫01?∣∣∣∣?∫0x?fn′?(t)dt?∫0x?gdt∣∣∣∣?dx≤∫01?∫0x?∣fn′?(t)?g(t)∣dtdx≤∫01?∫01?∣fn′?(t)?g(t)∣dtdx=∫01?∣fn′?(t)?g(t)∣dt=∥fn′??g∥L1?→0
因此fn→L1ff_n \to_{L^1} ffn?→L1?f。
第二問：定義
EC={x∈[0,1]:?lim?h→0f(x+h)?f(x)h}E^C = \{x \in [0,1]:\exists \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\}EC={x∈[0,1]:?h→0lim?hf(x+h)?f(x)?}
因為fff絕對連續，所以f′f'f′幾乎處處存在，則m(E)=0m(E)=0m(E)=0
定義
FC={x∈[0,1]:g(x)=?lim?h→01h∫xx+hg(t)dt}F^C = \{x \in [0,1]:g(x)=\exists \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h}g(t)dt\}FC={x∈[0,1]:g(x)=?h→0lim?h1?∫xx+h?g(t)dt}
根據Lebesgue可微性，
m(F)=0m(F)=0m(F)=0
定義G=E∪FG=E \cup FG=E∪F，顯然0≤m(G)≤m(E)+m(F)=00 \le m(G) \le m(E)+m(F)=00≤m(G)≤m(E)+m(F)=0，即m(G)=0m(G)=0m(G)=0，在[0,1]?G[0,1]\setminus G[0,1]?G上，
f′(x)=lim?h→0f(x+h)?f(x)h=lim?h→01h∫xx+hg(t)dt=g(x)f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h}g(t)dt=g(x)f′(x)=h→0lim?hf(x+h)?f(x)?=h→0lim?h1?∫xx+h?g(t)dt=g(x)
總結
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