數(shù)學(xué)分析 連續(xù)函數(shù)的孤立零點(diǎn)

假設(shè)$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，稱$x_0\in \mathbb{R}$是$f$的零點(diǎn)如果$f(x_0)=0$，記$N(f)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)=0\}$，表示函數(shù)$f$的零點(diǎn)的集合。稱$x_0$是一個(gè)孤立零點(diǎn)(isolated zero)如果$?r>0,x\in \mathbb{R}$, 其中$B(r,x)\cap N(f)=\{x_0\}$，$B(r,x)=\{y\in \mathbb{R}:|x?y|<r\}$是以$x$為中心，$r$為半徑的鄰域。

下面討論開集上的連續(xù)函數(shù)與閉集上的連續(xù)函數(shù)的孤立零點(diǎn)的性質(zhì)：

性質(zhì)1 存在$f:(0,1)\to \mathbb{R}$是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，并且有無(wú)窮多個(gè)孤立零點(diǎn)；

性質(zhì)2 假設(shè)$f:[0,1]\to \mathbb{R}$是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，并且$f$的所有零點(diǎn)都是孤立零點(diǎn)，則$f$只有有限個(gè)零點(diǎn)。

評(píng)注 這兩個(gè)性質(zhì)說(shuō)明定義在開集與定義在緊集上的連續(xù)函數(shù)的孤立零點(diǎn)的行為是有差異的。定義在開集上的連續(xù)函數(shù)可以有無(wú)窮多個(gè)孤立零點(diǎn)，定義在緊集上的連續(xù)函數(shù)只能有有限個(gè)孤立零點(diǎn)，如果定義在緊集上的連續(xù)函數(shù)有無(wú)窮個(gè)孤立零點(diǎn)，根據(jù)Bolzano-Weierstrass定理，一定可以找到一個(gè)收斂的孤立零點(diǎn)序列，然而這收斂就和孤立零點(diǎn)的定義矛盾了。

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證明性質(zhì)1
假設(shè)$f:(0,1)\to \mathbb{R}$是一個(gè)同胚，即$f$是雙射、$f$與$f^{?1}$都是連續(xù)函數(shù)。定義$g(x)=\sin (f(x))$。

Claim 1. $\sin (x)$的零點(diǎn)都是孤立零點(diǎn)；
我們知道$\sin (x)$的零點(diǎn)集合為
$$N(\sin )=\{k\pi :k\in \mathbb{Z}\}$$

顯然$|N(\sin )|=|\mathbb{Z}|$，并且$N(\sin )$中任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為$\pi$，所以給定$k\in \mathbb{Z}$，
$$B(\frac{\pi }{2},k\pi )\cap N(\sin )=\{k\pi \}$$

因此$\sin (x)$有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)且都是孤立零點(diǎn)；

Claim 2. $g(x)$有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)且都是孤立零點(diǎn)；
因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$f$是同胚，給定$k\in \mathbb{Z}$，$?U_k?(0,1)$，
$$f(U_k)=B(\frac{\pi }{2},k\pi )$$

并且$?k=l$,
$$U_k\cap U_l=?$$

根據(jù)連續(xù)性，$?k\in \mathbb{Z},?x_k\in U_k$，
$$f(x_k)=k\pi$$

于是
$$N(g)=\{x_k:k\in \mathbb{Z}\}$$

顯然$N(g)$是無(wú)限集，并且
$$N(g)\cap U_k=\{x_k\}$$

所以$g(x)$有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)且都是孤立零點(diǎn)。

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證明性質(zhì)2
我們考慮反證法。假設(shè)$N(f)$是無(wú)限集，在這個(gè)無(wú)限集中選出一個(gè)序列$\{x_n\}$，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$[0,1]$是緊集，$\{x_n\}?N(f)?[0,1]$，根據(jù)Bolzano-Weierstrass定理，$?\{x_{n_k}\}?\{x_n\}$滿足
$$?x\in [0,1],x_{n_k}\to x,k\to \infty$$

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$f$是連續(xù)函數(shù)，
$$f(x)=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\underset{k\to \infty }{\lim }0=0$$

也就是說(shuō)$x\in N(f)$。現(xiàn)在再用一次$x_{n_k}\to x$，也就是$??>0$, $?N(?)\in \mathbb{N}$, $?n_k\ge N(?)$, $x_{n_k}\in B(?,x)$，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$?n_k\ge N(?)$, $x_{n_k}\in N(f)$，于是$B(?,x)\cap N(f)?\{x\}$，這與$f$的所有零點(diǎn)都是孤立零點(diǎn)矛盾。綜上，$N(f)$是有限集。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学分析 连续函数的孤立零点的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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