UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 集合的特征函数L2收敛的条件
UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 集合的特征函數(shù)L2收斂的條件
例 假設(shè){En}\{E_n\}{En?}是一個有限測度空間(X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)(X,M,μ)上的集列，則
lim?sup?En=?n=1∞?k=n∞Ek,lim?inf?En=?n=1∞?k=n∞Ek\limsup E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k,\liminf E_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}E_klimsupEn?=n=1?∞?k=n?∞?Ek?,liminfEn?=n=1?∞?k=n?∞?Ek?
證明χEn\chi_{E_n}χEn?? L2L^2L2收斂的充分條件是
μ(lim?sup?En?lim?inf?En)=0\mu(\limsup E_n \setminus \liminf E_n)=0μ(limsupEn??liminfEn?)=0
證
先證明充分性，
μ(lim?sup?En?lim?inf?En)=lim?n→∞[μ(?k=n∞Ek)?μ(?k=n∞Ek)]=lim?n→∞[μ(?k=n∞Ek??k=n∞EkC)]=lim?k→∞μ(?m,n=k∞EnΔEm)=0\mu(\limsup E_n \setminus \liminf E_n) = \lim_{n \to \infty} \left[ \mu \left( \bigcup_{k=n}^{\infty}E_k\right) - \mu \left( \bigcap_{k=n}^{\infty}E_k\right) \right] \\ = \lim_{n \to \infty} \left[ \mu \left( \bigcup_{k=n}^{\infty}E_k \setminus \bigcup_{k=n}^{\infty}E_k^C\right) \right] =\lim_{k \to \infty}\mu \left( \bigcup_{m,n=k}^{\infty}E_n \Delta E_m \right) =0μ(limsupEn??liminfEn?)=n→∞lim?[μ(k=n?∞?Ek?)?μ(k=n?∞?Ek?)]=n→∞lim?[μ(k=n?∞?Ek??k=n?∞?EkC?)]=k→∞lim?μ???m,n=k?∞?En?ΔEm????=0
根據(jù)這個關(guān)系我們可以得到χEn\chi_{E_n}χEn?? Cauchy in L2L^2L2，因為L2L^2L2是完備度量空間，于是χEn\chi_{E_n}χEn??收斂。下面說明一下χEn\chi_{E_n}χEn?? Cauchy in L2L^2L2，
∫∣χEn?χEm∣2dμ=μ(EnΔEm)≤μ(?m,n=k∞EnΔEm)→0\int |\chi_{E_n}-\chi_{E_m}|^2d\mu = \mu(E_n \Delta E_m) \le \mu \left( \bigcup_{m,n=k}^{\infty}E_n \Delta E_m \right) \to 0∫∣χEn???χEm??∣2dμ=μ(En?ΔEm?)≤μ???m,n=k?∞?En?ΔEm????→0
最后我們說明必要性不成立。比如X=[0,1)X=[0,1)X=[0,1)，μ=m\mu=mμ=m，構(gòu)造
Ek,n=[(k?1)2?n,k2?n),k=1,?,2nE_{k,n} = [(k-1)2^{-n},k2^{-n}),k=1,\cdots,2^nEk,n?=[(k?1)2?n,k2?n),k=1,?,2n
重新安排一下下標(biāo)，
{G1=E1,1,G2=E2,1G3=E1,2,G4=E2,2,G5=E3,2,G6=E4,2?Gk+n=Ek,n\begin{cases}G_1 = E_{1,1},G_2 = E_{2,1} \\ G_3 = E_{1,2}, G_4 =E_{2,2}, G_5 = E_{3,2},G_6 = E_{4,2} \\ \cdots \\ G_{k+n} = E_{k,n} \end{cases}??????????G1?=E1,1?,G2?=E2,1?G3?=E1,2?,G4?=E2,2?,G5?=E3,2?,G6?=E4,2??Gk+n?=Ek,n??
不難驗證
lim?sup?Gk+n=[0,1),lim?inf?Gk+n=?\limsup G_{k+n} = [0,1),\liminf G_{k+n}=\philimsupGk+n?=[0,1),liminfGk+n?=?
于是
m(lim?sup?Gk+n?lim?inf?Gk+n)=1m(\limsup G_{k+n} \setminus \liminf G_{k+n})=1m(limsupGk+n??liminfGk+n?)=1
但是χGk+n→0\chi_{G_{k+n}} \to 0χGk+n??→0 in L2L^2L2，這個反例說明必要性不成立。
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