UA SIE545 優化理論基礎 用Farkas定理證明Farkas類的結論

Farkas定理 $A$是一個$m\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax\le 0,c^{T}x>0 \\ II:A^{T}y=c,y\ge 0 \end{gathered}$$

一般我們稱兩個線性系統有且僅有一個解的結論叫Farkas-type results，證明這類結論的一種方法是通過換元、引入松弛變量等方法變換成Farkas定理的形式，然后根據Farkas定理直接得出結論。

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Gordan定理（Farkas定理的推論）：$A$是一個$m\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax<0 \\ II:A^{T}y=0,y\ge 0,y=0 \end{gathered}$$

改寫系統I：
$$Ax<0?Ax+1_{m}s=\left[\begin{array}{cc}A& 1_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ s\end{array}\right]\le 0,s>0$$

定義$c=[0,0,?,1]\in {\mathbb{R}}^{n+1}$，則
$$c^T\left[\begin{array}{c}x\\ s\end{array}\right]>0$$

定義$\bar{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ s\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}A& 1_m\end{array}\right]$，從而系統I等價于系統I‘：
$$I^{\prime }:B\bar{x}\le 0,c^T\bar{x}\ge 0,B\in {\mathbb{R}}^{m\times (n+1)},\bar{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1},c\in {\mathbb{R}}^{n+1}$$

根據Farkas定理，$I^{\prime }$與系統$I{I}^{\prime }$有且僅有一個有解，
$$I{I}^{\prime }:B^T\bar{y}=c,\bar{y}\ge 0,\bar{y}=0,\bar{y}\in {\mathbb{R}}^m$$

其中$c=[0,0,?,1]\in {\mathbb{R}}^{n+1}$，于是
$$\bar{y}=[y^T,y_{n+1}{]}^T,A^{T}y=0,y\ge 0$$

并且$y_{n+1}=s>0$，所以$y=0$。也就是系統$I{I}^{\prime }$與系統$II$等價，
$$II:A^{T}y=0,y\ge 0,y=0$$

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Gale定理：$A$是一個$m\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax\le b \\ II:A^{T}y=0,b^{T}y<0,y\ge 0 \end{gathered}$$

改寫系統II，定義
$$B=?\begin{array}{c}{A}^T\\ ?A^T\\ ?I\end{array}?,c=?b$$則系統II等價于系統I‘，
$$By=?\begin{array}{c}{A}^{T}y\\ ?A^{T}y\\ ?y\end{array}?\le 0,c^{T}y=?b^{T}y>0$$

根據Farkas定理，系統I’等價于系統II‘，
$$I{I}^{\prime }:B^{T}x=c,x\ge 0$$

其中
$$B^{T}x=A{x}_1?A{x}_2?x_3=?b?A(x_2?x_1)=b?x_3\le b$$

定義$w=x_2?x_1$，于是系統II’等價于
$$I:Aw\le b$$

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推論1 ：$A$是一個$m\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax\le 0,x\ge 0,c^{T}x>0 \\ II:A^{T}y\ge c,y\ge 0 \end{gathered}$$

改寫系統I，定義
$$B=\left[\begin{array}{c}A\\ ?I\end{array}\right]$$

則系統I等價于系統I’:
$$I^{\prime }:Bx\le 0,c^{T}x>0$$

根據Farkas定理，系統I’與系統II‘有且僅有一個有解，
$$I{I}^{\prime }:B^{T}y=c,y\ge 0$$

其中$B^{T}y=A^{T}y?y=c?A^{T}y\ge c$ (因為$y\ge 0$)，所以系統II’與系統II等價，
$$II:A^{T}y\ge c,y\ge 0$$

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推論2：$A$是一個$m\times n$的矩陣，$B$是一個$l\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax\le 0,Bx=0,c^{T}x>0 \\ II:A^{T}y+B^{T}z=c,y\ge 0 \end{gathered}$$

改寫系統I，定義
$$M=?\begin{array}{c}A\\ B\\ ?B\end{array}?$$

則
$$Mx=?\begin{array}{c}Ax\\ Bx\\ ?Bx\end{array}?\le 0$$

于是系統I與系統I‘等價，
$$I^{\prime }:Mx\le 0,c^{T}x>0$$

根據Farkas定理，系統I’與系統II‘等價，
$$I{I}^{\prime }:M^{T}w=c,w\ge 0$$

其中
$$M^{T}w=A^T{w}_1+B^T{w}_2?B^T{w}_3=A^T{w}_1+B^T(w_2?w_3)=c$$

令$y=w_1,z=w_2?w_3$，則系統II’與系統II等價，
$$II:A^{T}y+B^{T}z=c,y\ge 0$$

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推論3：$A$是一個$m\times n$的矩陣，$B$是一個$l\times n$的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
$$\begin{gathered} I:Ax<0,Bx=0 \\ II:A^{T}u+B^{T}v=0,u\ge 0 \end{gathered}$$

改寫系統I，$$Ax<0?Ax+1_{m}s=\left[\begin{array}{cc}A& 1_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ s\end{array}\right]\le 0,s>0$$

定義
$$M=\left[\begin{array}{cc}A& 1_m\\ B& ?1_l\end{array}\right],\bar{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ s\end{array}\right]$$

則
$$M\bar{x}=\left[\begin{array}{c}Ax+1_{m}s\\ Bx?1_{l}s\end{array}\right]\le 0$$

定義$c=[0,0,?,0,1{]}^T$，
$$c^T\bar{x}=s>0$$

則系統I與系統I‘等價，
$$I^{\prime }:M\bar{x}\le 0,c^T\bar{x}>0$$

根據Farkas定理，系統I’與系統II‘等價，
$$I{I}^{\prime }:M^{T}w=c,w\ge 0$$

其中
$$M^{T}w=\left[\begin{array}{cc}{A}^T& B^T\\ 1_m^T& ?1_l^T\end{array}\right]w=\left[\begin{array}{c}{A}^T{w}_1+B^T{w}_2\\ 1_m^T{w}_1?1_l^T{w}_2\end{array}\right]=c,w_1\ge 0,w_2\ge 0$$

定義$u=w_1,v=w_1$，則
$$A^{T}u+B^{T}v=0$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA SIE545 优化理论基础 用Farkas定理证明Farkas类的结论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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