UA SIE545 优化理论基础 用Farkas定理证明Farkas类的结论
UA SIE545 優化理論基礎 用Farkas定理證明Farkas類的結論
Farkas定理 AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax≤0,cTx>0II:ATy=c,y≥0I:Ax \le 0,c^Tx>0 \\ II:A^Ty=c,y \ge 0I:Ax≤0,cTx>0II:ATy=c,y≥0
一般我們稱兩個線性系統有且僅有一個解的結論叫Farkas-type results，證明這類結論的一種方法是通過換元、引入松弛變量等方法變換成Farkas定理的形式，然后根據Farkas定理直接得出結論。
Gordan定理（Farkas定理的推論）：AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax<0II:ATy=0,y≥0,y≠0I:Ax < 0 \\ II:A^Ty=0,y \ge 0, y \ne 0I:Ax<0II:ATy=0,y≥0,y?=0
改寫系統I：
Ax<0?Ax+1ms=[A1m][xs]≤0,s>0Ax < 0 \Leftrightarrow Ax + 1_m s = \left[ \begin{matrix} A & 1_m \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ s \end{matrix} \right] \le 0,s>0Ax<0?Ax+1m?s=[A?1m??][xs?]≤0,s>0
定義c=[0,0,?,1]∈Rn+1c = [0,0,\cdots,1] \in \mathbb{R}^{n+1}c=[0,0,?,1]∈Rn+1，則
cT[xs]>0c^T\left[ \begin{matrix} x \\ s \end{matrix} \right]>0cT[xs?]>0
定義xˉ=[xs]\bar x=\left[ \begin{matrix} x \\ s \end{matrix} \right]xˉ=[xs?]，B=[A1m]B=\left[ \begin{matrix} A & 1_m \end{matrix} \right]B=[A?1m??]，從而系統I等價于系統I‘：
I′:Bxˉ≤0,cTxˉ≥0,B∈Rm×(n+1),xˉ∈Rn+1,c∈Rn+1I':B\bar x \le 0,c^T \bar x \ge 0, B \in \mathbb{R}^{m \times (n+1)},\bar x \in \mathbb{R}^{n+1},c \in \mathbb{R}^{n+1}I′:Bxˉ≤0,cTxˉ≥0,B∈Rm×(n+1),xˉ∈Rn+1,c∈Rn+1
根據Farkas定理，I′I'I′與系統II′II'II′有且僅有一個有解，
II′:BTyˉ=c,yˉ≥0,yˉ≠0,yˉ∈RmII':B^T\bar y=c,\bar y \ge 0,\bar y \ne 0,\bar y \in \mathbb{R}^mII′:BTyˉ?=c,yˉ?≥0,yˉ??=0,yˉ?∈Rm
其中c=[0,0,?,1]∈Rn+1c = [0,0,\cdots,1] \in \mathbb{R}^{n+1}c=[0,0,?,1]∈Rn+1，于是
yˉ=[yT,yn+1]T,ATy=0,y≥0\bar y = [y^T, \ \ y_{n+1}]^T, A^Ty=0, y \ge 0yˉ?=[yT,??yn+1?]T,ATy=0,y≥0
并且yn+1=s>0y_{n+1}=s>0yn+1?=s>0，所以y≠0y \ne 0y?=0。也就是系統II′II'II′與系統IIIIII等價，
II:ATy=0,y≥0,y≠0II:A^Ty=0,y \ge 0, y \ne 0II:ATy=0,y≥0,y?=0
Gale定理：AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax≤bII:ATy=0,bTy<0,y≥0I:Ax \le b \\ II:A^Ty=0,b^Ty < 0, y \ge 0I:Ax≤bII:ATy=0,bTy<0,y≥0
改寫系統II，定義
B=[AT?AT?I],c=?bB=\left[ \begin{matrix} A^T \\ -A^T \\-I \end{matrix} \right],c= -bB=???AT?AT?I????,c=?b則系統II等價于系統I‘，
By=[ATy?ATy?y]≤0,cTy=?bTy>0By=\left[ \begin{matrix} A^Ty \\ -A^Ty \\-y \end{matrix} \right] \le 0,c^Ty=-b^Ty>0By=???ATy?ATy?y????≤0,cTy=?bTy>0
根據Farkas定理，系統I’等價于系統II‘，
II′:BTx=c,x≥0II':B^Tx = c,x \ge 0II′:BTx=c,x≥0
其中
BTx=Ax1?Ax2?x3=?b?A(x2?x1)=b?x3≤bB^Tx = Ax_1-Ax_2-x_3=-b \Rightarrow A(x_2-x_1)=b-x_3 \le bBTx=Ax1??Ax2??x3?=?b?A(x2??x1?)=b?x3?≤b
定義w=x2?x1w = x_2-x_1w=x2??x1?，于是系統II’等價于
I:Aw≤bI:Aw \le bI:Aw≤b
推論1 ：AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax≤0,x≥0,cTx>0II:ATy≥c,y≥0I:Ax \le 0,x \ge 0,c^Tx >0 \\ II:A^Ty \ge c,y \ge 0I:Ax≤0,x≥0,cTx>0II:ATy≥c,y≥0
改寫系統I，定義
B=[A?I]B = \left[ \begin{matrix} A \\ -I \end{matrix} \right]B=[A?I?]
則系統I等價于系統I’:
I′:Bx≤0,cTx>0I':Bx \le 0,c^Tx>0I′:Bx≤0,cTx>0
根據Farkas定理，系統I’與系統II‘有且僅有一個有解，
II′:BTy=c,y≥0II':B^Ty=c,y \ge 0II′:BTy=c,y≥0
其中BTy=ATy?y=c?ATy≥cB^Ty=A^Ty-y=c \Rightarrow A^Ty \ge cBTy=ATy?y=c?ATy≥c (因為y≥0y \ge 0y≥0)，所以系統II’與系統II等價，
II:ATy≥c,y≥0II:A^Ty \ge c,y \ge 0II:ATy≥c,y≥0
推論2：AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，BBB是一個l×nl \times nl×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax≤0,Bx=0,cTx>0II:ATy+BTz=c,y≥0I:Ax \le 0,Bx = 0,c^Tx >0 \\ II:A^Ty+B^Tz = c,y \ge 0I:Ax≤0,Bx=0,cTx>0II:ATy+BTz=c,y≥0
改寫系統I，定義
M=[AB?B]M = \left[ \begin{matrix} A \\ B \\ -B \end{matrix} \right]M=???AB?B????
則
Mx=[AxBx?Bx]≤0Mx=\left[ \begin{matrix} Ax \\ Bx \\ -Bx \end{matrix} \right]\le 0Mx=???AxBx?Bx????≤0
于是系統I與系統I‘等價，
I′:Mx≤0,cTx>0I':Mx \le 0,c^Tx>0I′:Mx≤0,cTx>0
根據Farkas定理，系統I’與系統II‘等價，
II′:MTw=c,w≥0II':M^Tw=c,w \ge 0II′:MTw=c,w≥0
其中
MTw=ATw1+BTw2?BTw3=ATw1+BT(w2?w3)=cM^Tw=A^Tw_1+B^Tw_2-B^Tw_3=A^Tw_1+B^T(w_2-w_3)=cMTw=ATw1?+BTw2??BTw3?=ATw1?+BT(w2??w3?)=c
令y=w1,z=w2?w3y=w_1,z=w_2-w_3y=w1?,z=w2??w3?，則系統II’與系統II等價，
II:ATy+BTz=c,y≥0II:A^Ty+B^Tz = c,y \ge 0II:ATy+BTz=c,y≥0
推論3：AAA是一個m×nm\times nm×n的矩陣，BBB是一個l×nl \times nl×n的矩陣，下面兩個系統有且僅有一個有解：
I:Ax<0,Bx=0II:ATu+BTv=0,u≥0I:Ax < 0,Bx = 0 \\ II:A^Tu+B^Tv = 0,u \ge 0I:Ax<0,Bx=0II:ATu+BTv=0,u≥0
改寫系統I，Ax<0?Ax+1ms=[A1m][xs]≤0,s>0Ax < 0 \Leftrightarrow Ax + 1_m s = \left[ \begin{matrix} A & 1_m \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ s \end{matrix} \right] \le 0,s>0Ax<0?Ax+1m?s=[A?1m??][xs?]≤0,s>0
定義
M=[A1mB?1l],xˉ=[xs]M =\left[ \begin{matrix} A & 1_m \\ B & -1_l \end{matrix} \right],\bar x = \left[ \begin{matrix} x \\ s \end{matrix} \right]M=[AB?1m??1l??],xˉ=[xs?]
則
Mxˉ=[Ax+1msBx?1ls]≤0M\bar x = \left[ \begin{matrix} Ax+1_ms \\ Bx-1_ls \end{matrix} \right] \le 0 Mxˉ=[Ax+1m?sBx?1l?s?]≤0
定義c=[0,0,?,0,1]Tc=[0,0,\cdots,0,1]^Tc=[0,0,?,0,1]T，
cTxˉ=s>0c^T\bar x=s>0cTxˉ=s>0
則系統I與系統I‘等價，
I′:Mxˉ≤0,cTxˉ>0I':M\bar x \le 0,c^T\bar x>0I′:Mxˉ≤0,cTxˉ>0
根據Farkas定理，系統I’與系統II‘等價，
II′:MTw=c,w≥0II':M^Tw=c,w \ge 0II′:MTw=c,w≥0
其中
MTw=[ATBT1mT?1lT]w=[ATw1+BTw21mTw1?1lTw2]=c,w1≥0,w2≥0M^Tw=\left[ \begin{matrix} A^T & B^T \\ 1_m^T & -1_l^T \end{matrix} \right]w=\left[ \begin{matrix} A^Tw_1+B^Tw_2 \\ 1_m^Tw_1-1_l^Tw_2 \end{matrix} \right]=c,w_1 \ge 0,w_2 \ge 0MTw=[AT1mT??BT?1lT??]w=[ATw1?+BTw2?1mT?w1??1lT?w2??]=c,w1?≥0,w2?≥0
定義u=w1,v=w1u=w_1,v=w_1u=w1?,v=w1?，則
ATu+BTv=0A^Tu+B^Tv=0ATu+BTv=0
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA SIE545 优化理论基础 用Farkas定理证明Farkas类的结论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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