UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步6 鞅的性質 鞅差序列

上一講我們引入了鞅的定義，稱$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅，如果

$?n$，$X_n$絕對可積

$\{X_n\}$ adapted to $\{{\mathcal{F}}_n\}$

$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]=X_n$

如果第三條改為$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]\ge X_n$就是sub-martingale；如果第三條改為$E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]\le X_n$就是super-martingale。這一講我們討論鞅的基本性質。

---

性質一 假設$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅，則$\sigma (\{X_k:k\le n\})$是使$X_n$成為鞅的最小的Filtration。
證明
顯然$X_n\in L^1$并且$X_n\in \sigma (\{X_k:k\le n\})$，因為$?n,X_n\in {\mathcal{F}}_n$，于是$\sigma (\{X_k:k\le n\})?{\mathcal{F}}_n$，根據Tower property，
$$\begin{gathered} E[X_{n+1}|\sigma (\{X_k:k\le n\})] \\ =E[E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n]|\sigma (\{X_k:k\le n\})] \\ =E[X_n|\sigma (\{X_k:k\le n\})]=X_n \end{gathered}$$

關于如何選擇Filtration，這個性質帶給我們兩點啟發：

隨機過程生成的Filtration是最小的Filtration，它被稱為Natural filtration，因此一個鞅過程總是可以有一個Filtration的；

更大的Filtration也可以用，但是正如Tower property展示的那樣，只有與Natural filtration重疊的部分才是有效信息。

---

性質二 $\{d_j,{\mathcal{F}}_j{\}}_{j\ge 0}$是martingale difference sequence (鞅差序列，MDS)，如果

$d_j\in {\mathcal{F}}_j$ (adapted)

$d_j\in L^1$

$E[d_{j+1}|{\mathcal{F}}_j]=0$

如果第三條改為$\ge$就是submartingale difference sequence；如果第三條改為$\le$就是supermartingale difference sequence。關于鞅差序列有下面一些結果：

• $X_n={\sum }_{j=0}^n{d}_j$，則$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅
• $(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅，則構造$d_0=X_0?E{X}_0$, $d_j=X_j?X_{j?1},?j\ge 1$，$(d_j,{\mathcal{F}}_j)$是MDS

---

性質三 orthogonality of MDS
假設$(d_j,{\mathcal{F}}_j)$是一個MDS，$d_j\in L^2$，則$d_j$是正交序列。
證明
首先，$E{d}_j=E[E[d_j|{\mathcal{F}}_{j?1}]]=0,?j\ge 0$；
下面計算$?i=j$，不妨設$i<j$
$$E[d_i{d}_j]=E[E[d_i{d}_j|{\mathcal{F}}_{j?1}]]=E[d_{i}E[d_j|{\mathcal{F}}_{j?1}]]=E[d_i?0]=0$$

例 假設$(d_j,{\mathcal{F}}_j)$是一個MDS，$X_n={\sum }_{j\ge 0}{d}_j$，計算
$$E[X_n{]}^2=E{\left[\sum _{1\le i,j\le n}{d}_i{d}_j\right]}^2=\sum _{k=1}^{n}E[d_k{]}^2$$

根據orthogonality of MDS，所有交叉項的期望為0，于是有了上面的式子。

---

性質四 假設$(X_n,{\mathcal{F}}_n)$是鞅，我們可以基于鞅構造一個sub-martingale。假設$\psi$是一個凸函數并且$\psi (X_n)\in L^1$，根據Jensen不等式與鞅的性質
$$\psi (X_n)\le \psi (E[X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n])$$則$(\psi (X_n),{\mathcal{F}}_n)$是一個submartingale。

例 Centering by conditional mean
假設$\{{\xi }_i\}$是一列任意的$L^1$隨機變量，定義$d_j={\xi }_j?E[{\xi }_j|{\mathcal{F}}_{j?1}]$，其中${\mathcal{F}}_j$是Filtration，則

$d_j$是MDS

${\sum }_{j\ge 1}{d}_j$是鞅

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 鞅论初步6 鞅的性质 鞅差序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。