UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理11 強大數定律 版本1：四階矩有界

這一講我們介紹基于四階矩條件的強大數法則(Strong Law of Large Number, SLLN)

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基于四階矩條件的強大數定律
假設$X_1,?,X_n,n\ge 1$是獨立同分布的隨機變量，$E{X}_1^4<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

證明
我們需要用到Borel-Cantelli引理:

Borel-Cantelli引理1 如果${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)<\infty$，則$P(A_{n}i.o.)=0$

Borel-Cantelli引理2 如果$A_n$互相獨立，且${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)=\infty$，則$P(A_{n}i.o.)=1$

定義$X_i^{\prime }=X_i?\mu$，則$E{X}_i^{\prime }=0$，并且
$$E[X_i^{\prime }{]}^4=E[X_i?\mu {]}^4\le 8(E{X}_i^4+{\mu }^4)<\infty$$

(根據Jensen不等式，$(a+b{)}^4=2^4[(a+b)/2{]}^4\le 8(a^4+b^4)$)

于是我們只需要說明：假設$X_1,?,X_n,n\ge 1$是獨立同分布的隨機變量，$E{X}_1=0$，$E{X}_1^4<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}0$$

也就是$??>0$，
$$P(|\bar{X}|>?i.o.)=0?P(|\bar{X}|\le ?e.v.)=1$$

后者等價于
$$P({\cap }_k\{|\bar{X}|\le 1/ke.v.\})=1$$

根據Borel-Cantelli引理中的引理2，$$P({\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1,?m\ge 1?P({\cap }_{m\ge 1}{\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1$$

我們只需要
$$?k,P(|\bar{X}|\le 1/ke.v.)=1$$

或者
$$?k,P(|\bar{X}|>1/ki.o.)=0$$

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如果我們仿照弱大數定律的證明，考慮Chebyshev不等式，那就是
$$P(|\bar{X}|>1/k)\le \frac{Var(X_1)k^2}{n}$$

顯然這個上界關于$n$求和的級數是發散的，因此我們需要一個更小的上界。

引理 四階矩的Chebyshev不等式 （用Markov不等式導出）
$$P(|\bar{X}|>?)\le \frac{E[S_n^4]}{n^4{?}^4},S_n=n\bar{X}$$

其中
$$E[S_n^4]=E\sum _{i,j,k,l}{X}_i{X}_j{X}_k{X}_l$$

因為$E{X}_i=0,?i$，所以這個式子中只有$X_i^2{X}_j^2$以及$X_i^4$的期望不為0，前者有$C_4^2{C}_n^2=3n(n?1)$項，后者有$n$項，于是
$$E[S_n^4]=nE[X_1^4]+3n(n?1)(E{X}_1^2{)}^2$$

于是
$$P(|\bar{X}|>1/k)\le \frac{E[S_n^4]k^4}{n^4}～\frac{1}{n^2}$$

因此，根據Borel-Cantelli引理1，$?k,P(|\bar{X}|>1/ki.o.)=0$。

總結

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