UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理12 強大數定律 版本2：Etemadi定理

這一講我們介紹強大數定律(Strong law of large number, SLLN)的另一個版本：

強大數定律 假設$X_1,?,X_n,n\ge 1$是兩兩獨立、同分布的隨機變量，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

說明
幾乎必然收斂強于均方收斂，所以稱這個結果為強大數定律、而均方收斂的結果為弱大數定律。目前最好的證明由Etemadi (1981)給出，在此之前被普遍接受的版本是概率論祖師爺Kolmogorov提供的，Kolmogorov版本的條件是$X_1,?,X_n,n\ge 1$是iid的隨機變量，且$E|X_1|<\infty$。

---

證明思路

第一步，
對一般隨機變量，我們可以做類似一般可測函數的正部與負部分解：
$$X=X^{+}?X^{?}$$

其中$X^{+}=\max (X,0),X^{?}=\max (?X,0)$。

我們驗證一下$\{X_n^{+}\}$也滿足定理的條件：

因為$X_n,X_m$獨立，因此$X_n^{+},X_m^{+}$作為它們的函數也獨立；

$E|X_n|=E{X}_n^{+}+E{X}_n^{?}<\infty ?E{X}_n^{+}<\infty$

這說明正部滿足定理條件。也就是說如果非負隨機變量滿足SLLN，那么
$$\bar{X}=S_n/n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^{+}?\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^{?}{\to }_{a.s.}E{X}_1^{+}?E{X}_1^{?}=E{X}_1$$

于是我們可以利用與構造Lebesgue積分類似的思路，把一般隨機變量簡化為非負隨機變量進行討論。

第二步，
現在我們假設$X_n$都是非負隨機變量，使用Truncation trick(截斷法，這是分析、概率論等數學領域很常用的技巧，把討論的對象分為有界、無界的兩部分分別討論)：
$$Y_n=X_n{1}_{X_n\le n}=\{\begin{array}{l}{X}_n,if{X}_n\le n\\ 0,otherwise\end{array}$$

計算
$$\sum _{n}P(X_n=Y_n)=\sum _{n}P(X_n>n)=\sum _{n}P(X_1>n)<\infty$$

最后這個不等式用的是Borel-Cantelli引理的引理1：$E|X|<\infty$，的充要條件是$??>0$，
$$\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)<\infty$$

因為$E|X_1|<\infty$，于是${\sum }_{n}P(X_1>n)<\infty$，根據Borel-Cantelli引理1，
$$P(X_n=Y_{n}i.o.)=0$$

定義$T_n=Y_1+?+Y_n$，$P(X_n=Y_{n}i.o.)=0$說明$P(X_n=Y_{n}e.v.)=1$，所以依概率1我們有
$$\underset{n}{\lim }{T}_n/n=\underset{n}{\lim }{S}_n/n$$

這個結果說明我們不但可以把問題從一般隨機變量簡化為非負隨機變量，還可以進一步簡化為有界的非負隨機變量。

第三步，

Claim：
$??>0$，$\alpha >1$，$k(n)=?{\alpha }^n?,?n$，
$$\sum _{n\ge 1}P(\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}>?)<\infty$$

如果這個結果成立，根據Borel-Cantelli引理1，
$$P(\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}>?i.o.)=0$$

于是
$$\frac{|T_{k(n)}?E{T}_{k(n)}|}{k(n)}{\to }_{a.s.}0$$

基于這個結果我們可以說明定理對有界非負隨機變量成立，這就是證明SLLN的完整的三個步驟。

---

下面貼一個Durrett整理的證明：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理12 强大数定律 版本2：Etemadi定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。