UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理21 Skorohod定理的证明
UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理21 Skorohod定理的證明
Skorohod定理
如果Fn?FF_n \Rightarrow FFn??F，則存在以FnF_nFn?為cdf的YnY_nYn?與以FFF為cdf的YYY，使得Yn→a.s.YY_n \to_{a.s.} YYn?→a.s.?Y。
證明
簡單起見，因為(0,1)(0,1)(0,1)與R\mathcal{R}R是同胚，我們考慮Ω=(0,1)\Omega = (0,1)Ω=(0,1)，F=B((0,1))\mathcal{F} = \mathcal{B}((0,1))F=B((0,1))，PPP是均勻概率測度，?x∈Ω\forall x \in \Omega?x∈Ω，定義
Yn(x)=sup?{y:Fn(y)<x}Y(x)=sup?{y:F(y)<x}Y_n(x) = \sup\{y:F_n(y)<x\} \\ Y(x) = \sup\{y:F(y)<x\}Yn?(x)=sup{y:Fn?(y)<x}Y(x)=sup{y:F(y)<x}
這其實是分位點的一般性定義，于是Yn～Fn,Y～FY_n \sim F_n,Y \sim FYn?～Fn?,Y～F。定義
a(x)=sup?{y:F(y)<x}b(x)=inf?{y:F(y)>x}Ω0={x:(a(x),b(x))=?}a(x) = \sup\{y:F(y)<x\} \\ b(x) = \inf\{y:F(y)>x\} \\ \Omega_0 = \{x:(a(x),b(x)) =\phi\}a(x)=sup{y:F(y)<x}b(x)=inf{y:F(y)>x}Ω0?={x:(a(x),b(x))=?}
如果(a(x),b(x))≠?(a(x),b(x)) \ne \phi(a(x),b(x))?=?，就說明分布函數有一段是平的，顯然Ω?Ω0\Omega \setminus \Omega_0Ω?Ω0?可列。要說明Yn→a.s.YY_n \to_{a.s.} YYn?→a.s.?Y，我們需要Yn(x)→Y(x),?x∈Ω0Y_n(x) \to Y(x),\forall x\in \Omega_0Yn?(x)→Y(x),?x∈Ω0?。
?x∈Ω0\forall x \in \Omega_0?x∈Ω0?，a(x)=b(x)a(x)=b(x)a(x)=b(x)，根據定義
F(y)<x,?y<a(x)=Y(x)F(z)>x,?z>b(x)=Y(x)F(y)<x,\forall y<a(x) = Y(x) \\ F(z)>x,\forall z>b(x)=Y(x)F(y)<x,?y<a(x)=Y(x)F(z)>x,?z>b(x)=Y(x)
于是
lim?inf?Yn(x)≥Y(x),?x∈Ω0\liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0liminfYn?(x)≥Y(x),?x∈Ω0?
因為F(y)<x,Fn(x)→F(x)F(y)<x,F_n(x) \to F(x)F(y)<x,Fn?(x)→F(x)，根據極限的保號性，Fn(y)<xF_n(y)<xFn?(y)<x，于是y≤Yn(x)y \le Y_n(x)y≤Yn?(x)，所以lim?inf?Yn(x)≥y\liminf Y_n(x) \ge yliminfYn?(x)≥y，取一列yyy使其遞增收斂到Y(x)Y(x)Y(x)，根據連續性，lim?inf?Yn(x)≥Y(x),?x∈Ω0\liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0liminfYn?(x)≥Y(x),?x∈Ω0?
類似的，
lim?sup?Yn(x)≤Y(x),?x∈Ω0\limsup Y_n(x) \le Y(x),\forall x \in \Omega_0limsupYn?(x)≤Y(x),?x∈Ω0?
于是
Yn(x)→Y(x),?x∈Ω0Y_n(x) \to Y(x),\forall x \in \Omega_0Yn?(x)→Y(x),?x∈Ω0?
總結
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