UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中心極限定理23 概率測度族的緊性

給定一個度量可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，度量為$d$，我們可以在這個可測空間上定義概率測度，用$\mathcal{C}$表示這個可測空間上所有可能的概率測度，接下來我們試圖研究$\mathcal{C}$的緊性。之所以要討論概率測度族的緊性是因?yàn)槲覀兦皫字v討論的是概率測度的收斂，我們希望概率測度的極限也是概率測度，特別是在中心極限定理中，我們希望極限分布也能是一個分布，因此我們需要緊的概率測度族。

例 概率測度的極限可能不是概率測度，比如${\mu }_n=a{\delta }_n+(1?a)v$，其中$v$是概率測度，不妨假設(shè)$v={\delta }_0$，則
$$F_n(x)=\{\begin{array}{l}1?a,x<n\\ 1,x\ge n\end{array}\to 1?a$$

顯然$F(x)=1?a$不是一個cdf。我們稱這樣的概率測度它取極限后存在"mass loss"。

Helly定理
假設(shè)$F_n$是實(shí)數(shù)上的一列累積分布函數(shù)，則存在它的子列$F_{n_k}$使得
$$F_{n_k}\to F$$

其中$F$是非減、右連續(xù)、取值在$[0,1]$上的函數(shù)，這樣的收斂在老文獻(xiàn)被稱為vague convergence。

說明
盡管$F$本身不是一個累積分布函數(shù)，但是根據(jù)$F$我們可以導(dǎo)出一個Lebesgue-Stieltjes測度${\mu }_F$，并基于${\mu }_F$導(dǎo)出一個概率測度。

證明
$?q\in \mathbb{Q}$，存在$F_n$的子列收斂到$G(q)$，定義
$$F(x)=\inf \{G(q):q>x,q\in \mathbb{Q}\}$$

驗(yàn)證$F$是一個非減、右連續(xù)、取值在$[0,1]$上的函數(shù)即可。

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概率測度的緊性
稱$\{F_n\}$或者$\{{\mu }_n\}$是緊的(tight)，如果$??>0$，$?K$緊集，$K?\Omega$，使得
$$\underset{n}{\sup }{\mu }_n(K^C)<\infty$$

也就是說存在一個概率1的緊集。

定理
假設(shè)$\{F_n\}$是一列分布，它的每個子列的極限都是分布的充要條件是$F_n$是緊的。

證明
$?$：如果$F_n$是緊的，$F_{n_k}$是它的一個子列，$F_{n_k}\to F$，我們需要說明$F$也是分布。

根據(jù)Helly定理，存在一個子列$F_{n_{k_l}}$收斂到$G$，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$F_{n_k}\to F$，所以$F=G$，于是$F$也是非減、右連續(xù)、取值在$[0,1]$上的函數(shù)。

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$F_n$是緊的，$??>0,?M>0$，$$\begin{gathered} \underset{n}{\sup }P(|X_n|>M)<? \\ \underset{n}{\sup }(F_n(?M)+1?F_n(M))<? \end{gathered}$$

不妨假設(shè)$M$是一個連續(xù)點(diǎn)(分布函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)是稠密的)，如果$x>M$，則
$$F(x)\ge F(M)=\lim F_{n_k}(M)\ge 1??$$

于是${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$，類似地可以說明${\lim }_{x\to ?\infty }F(x)=0$。

$?$:假設(shè)$F_n$不緊，$??>0$，$?M>0$，${\sup }_{n}P(|X_n|>M)>?$，也就是對于每一個$M$，我們總是可以找到一個$F_{n_M}$，使得
$$\underset{n}{\sup }(F_{n_M}(?M)+1?F_{n_M}(M))>?$$

根據(jù)Helly定理，我們總是可以找到一個收斂的子列，基于它的極限可以構(gòu)造一個L-S測度，我們記它的極限為$F$，給定$l<M$，且$l$也是連續(xù)點(diǎn)，則
$$F(?l)+(1?F(l))=\lim (F_{n_M}(?M)+1?F_{n_M}(M))>?$$

于是根據(jù)極限的保號性，
$$\underset{l}{\lim }F(?l)+(1?F(l))>?$$

這與基于$F$可以構(gòu)造一個L-S測度矛盾。

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在上面的定理中，我們證明緊性的方法是反證法，緊性不成立可以導(dǎo)出與Helly定理矛盾的結(jié)果，于是我們可以得到緊性。但反證法在實(shí)際問題的應(yīng)用中比較麻煩，我們希望導(dǎo)出一些更“好用”的結(jié)果。

緊性的充分條件 ${\sup }_{n}E|X_n{|}^{\alpha }<\infty ,?\alpha >0$

說明

$$\begin{gathered} {\mu }_n([?M,M{]}^C)=P(|X_n|>M)=P(|X_n{|}^{\alpha }>M^{\alpha }) \\ \le \frac{E|X_n{|}^{\alpha }}{M^{\alpha }}\le \frac{{\sup }_{n}E|X_n{|}^{\alpha }}{M^{\alpha }} \end{gathered}$$

取$M^{\alpha }>const./?$即可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理23 概率测度族的紧性的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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