UA MATH577 邏輯與可計算性1 遞歸函數

• • 三種基礎函數
  • 三類創造可計算的新函數的方法
  • • 復合函數
    • Primitive Recursive
    • Minimization

寫在前面

這個系列是我上課的筆記，這個課是Jan Wehr老教授的Logic and Computation，用的教材是Boolos，Burgess，Jeffrey的Computability and Logic。Jan的研究領域是隨機微分方程和數學物理，對具體的算法并不熟悉，再加上這是一個topic course，不是regular course，所以不會嚴格按照教材的敘述進行。這個課程的主要目標是闡述Goedel不完備定理的證明，為此需要先引入三種可計算性的定義：Turing機與Turing可計算性、Abacus可計算性與遞歸可計算性，以及兩套形式邏輯系統：一階邏輯與二階邏輯。在完成這個主要目標后，會介紹一些計算理論的其他專題，比如算法復雜性、P/NP問題等。

我們先從遞歸可計算性開始，這一講介紹遞歸函數。第一個概念是effectively computable function，這類函數指的是有明確的計算規則、表達式的函數，既然計算規則都可以明確寫出來，那么這類函數當然是可計算的。基于這種函數定義可計算性的話就太狹隘了，因為并不是所有不能寫出表達式、計算規則的函數都是不能計算的。所以Church用遞歸的思想擴展了effectively computable function的概念，定義遞歸函數(recursive function)，這是遞歸可計算性(recursive computability)的基礎。Church是Turing的老師，他們二人是計算理論最重要的奠基人。下面我們介紹Church定義遞歸函數的思路。

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三種基礎函數

Church在定義遞歸函數的時候，首先定義了三種基礎函數。

第一個基礎函數是zero function，記為$z(x)$，不論什么輸入$x\in \mathbb{N}\cup \{0\}$，輸出都是0，即
$$z(x)=0,?x$$

需要注意的是這里的自然數公理體系是Peano公理下的自然數的序數理論體系。自然數有兩種公理系統，基數理論與序數理論。

第二個基礎函數是successor function，記為$s(x)$，
$$s(x)=x^{+},?x\in \mathbb{N}\cup \{0\}$$

上標${}^{+}$的含義是后繼，這是Peano公理引入的一個運算，它表示某個自然數的下一個自然數，比如$1^{+}=2$，$2^{+}=3$，但函數$s(x)$的定義域是自然數集加0，所以我們額外再定義$0^{+}=1$。

第三個基礎函數是identity function，記為$i{d}_i^n$，它滿足
$$i{d}_i^n(x_1,?,x_n)=x_i$$

這個函數也叫projection function；這三個函數叫基礎函數，因為他們都只需要一次運算就能得到結果。

三類創造可計算的新函數的方法

上面三種基礎函數的作用是與現在要介紹的函數操作一起用于擴展effectively computable function。

復合函數

復合是我們非常熟悉的函數操作，它可以用我們熟悉的函數合成新的函數。如果用effectively computable function通過復合組成新的函數，那么新的函數也是可計算的。我們用下面的記號表示復合，
$$h=Cn[f,g_1,?,g_m]$$

它的含義是
$$h(x_1,?,x_n)=f(g_1(x_1,?,x_n),?,g_m(x_1,?,x_n))$$

例1 常值函數
用$cons{t}_n(x)=n$表示常值函數，它把任意輸入$x$映射為$n$，我們可以用復合的思路說明所有常值函數是可計算的：
$$\begin{gathered} cons{t}_0=z \\ cons{t}_1=Cn[s,z] \\ ? \\ cons{t}_{n+1}=Cn[s,cons{t}_n] \end{gathered}$$

第一個等式非常直接，我們驗證一下第二個等式，
$$C_n[s,z]=s(z)=s(0)=0^{+}=1$$

我們驗證一下最后一個等式，
$$Cn[s,cons{t}_n]=s(cons{t}_n)=n^{+}=n+1$$

于是通過復合的手段，我們可以用基礎函數說明常值函數可計算。

Primitive Recursive

Primitive Recursion指的是下面的遞歸過程：
$$\begin{gathered} h(x,0)=f(x) \\ h(x,y^{+})=g(x,y,h(x,y)) \end{gathered}$$

我們記$h=Pr[f,g]$。可以用Primitive Recursive得到和、積、階乘等運算：

例2 Primitive Recursive的應用

$sum=Pr[i{d}_1^1,Cn[s,i{d}_3^3]]$

$prod=Pr[z,Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3]]$

$fac=Cn[Pr[cons{t}_1,Cn[prod,i{d}_3^3,i{d}_2^3]],id,id]$

證明
1、在序數理論中，定義加法的思路是引入兩個方程：$a+1=a^{+},a+b^{+}=(a+b{)}^{+}$，這里的自然數包含了0，因此定義加法需要$a+0=a,a+b^{+}=(a+b{)}^{+}$，所以要驗證第一個等式只需要驗證加法對這兩個等式成立：
$$\begin{gathered} a+0=sum(a,0)=i{d}_1^1(a)=a \\ a+b^{+}=sum(a,b^{+})=Cn[s,i{d}_3^3](a,b,sum(a,b)) \\ =s(i{d}_3^3(a,b,sum(a,b)))=s(sum(a,b))=s(a+b)=(a+b{)}^{+} \end{gathered}$$

2、在敘述理論中，定義乘法的思路是引入兩個方程：$a?1=a,a?b^{+}=a?b+a$，這里的自然數包含了0，所以我們需要額外說明$a?0=0$，所以要驗證第二個等式只需要說明它滿足這三個方程：
$$\begin{gathered} a?0=prod(a,0)=z(a)=0 \\ a?1=prod(a,1)=Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,0,prod(a,0)) \\ =Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,0,0)=sum(i{d}_1^3(a,0,0),i{d}_3^3(a,0,0)) \\ =sum(a,0)=a \\ a?b^{+}=prod(a,b^{+})=Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,b,prod(a,b)) \\ =sum(i{d}_1^3(a,b,prod(a,b)),i{d}_3^3(a,b,prod(a,b))) \\ =sum(a,prod(a,b))=a+a?b \end{gathered}$$

階乘的構造就留給讀者自行證明了，需要只需要按定義說明：
$$\begin{gathered} 0!=fac(0)=1 \\ n!=fac(n)=n?(n?1)! \end{gathered}$$

即可。

Minimization

Minimization的作用是減少輸入的個數，假設$f$是一個有$n+1$個輸入的函數，記$h=Mn[f]$，其中
$$h(x_1,?,x_n)=?\begin{array}{l}y,iff(x_1,?,x_n,y)=0or\\ ?t<y,?f(x_1,?,x_n,t)=0\\ \\ undefined,ifnosuchy\end{array}$$

如果$f$可計算，那么$h$是可計算的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH577 逻辑与可计算性1 递归函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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