偏微分方程I PDE的例子1 一维波动与热传导方程
偏微分方程I PDE的例子1 一維波動與熱傳導方程
一些著名的偏微分方程(partial differential equations, PDE)的例子：
例1 一維波動方程
考慮一根被固定在x=0x=0x=0與x=Lx=Lx=L處的弦的波動，u(x,t)u(x,t)u(x,t)是ttt時刻xxx位置的撓度，我們考慮xxx與x+Δxx+\Delta xx+Δx這兩個位置，假設ttt時刻它們的張力大小為TTT，與水平方向的夾角分別為ψ,ψ+Δψ\psi,\psi+\Delta \psiψ,ψ+Δψ，考慮這一段微元，張力在豎直方向的合力為
T[sin?(ψ+Δψ)?sin?(ψ)]≈T[tan?(ψ+Δψ)?tan?(ψ)]=T[?u(x+Δx,t)?x??u(x,t)?x]=T?2u(x+ξΔx,t)?x2Δx,?ξ∈(0,1)T[\sin (\psi+\Delta \psi)-\sin(\psi)]\approx T[\tan (\psi+\Delta \psi)-\tan(\psi)] \\ = T[\frac{\partial u(x+\Delta x,t)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}]=T\frac{\partial^2 u(x+\xi \Delta x,t)}{\partial x^2}\Delta x,\exists \xi \in (0,1)T[sin(ψ+Δψ)?sin(ψ)]≈T[tan(ψ+Δψ)?tan(ψ)]=T[?x?u(x+Δx,t)???x?u(x,t)?]=T?x2?2u(x+ξΔx,t)?Δx,?ξ∈(0,1)
最后一步用的Lagrange中值定理。根據牛頓第二定律，
TuxxΔx=ρΔxutt,Tρuxx=uttTu_{xx}\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} ,\frac{T}{\rho} u_{xx}=u_{tt}Tuxx?Δx=ρΔxutt?,ρT?uxx?=utt?
這里的ρ\rhoρ是線密度。我們稱這樣的方程是homogeneous 1-D wave equation（齊次一維波動方程），它的一般形式為
uxx=c2uttu_{xx}=c^2 u_{tt}uxx?=c2utt?
這里的ccc的量綱是速度，
[c2]=[T][ρ]=ML/T2M/L=L2T2,[c]=LT[c^2]=\frac{[T]}{[\rho]}=\frac{ML/T^2}{M/L}=\frac{L^2}{T^2},[c]=\frac{L}{T}[c2]=[ρ][T]?=M/LML/T2?=T2L2?,[c]=TL?
它實際弦在波動時的波的傳播速度。
假設弦在豎直方向受載荷F(x,t)F(x,t)F(x,t)的作用，則
TuxxΔx+F(x,t)Δx=ρΔxuttutt=c2uxx+FρTu_{xx}\Delta x+F(x,t)\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} \\ u_{tt}=c^2u_{xx}+\frac{F}{\rho}Tuxx?Δx+F(x,t)Δx=ρΔxutt?utt?=c2uxx?+ρF?我們稱這樣的方程是inhomogeneous 1-D wave equation（非齊次一維波動方程），它的一般形式為
uxx=c2utt+fu_{xx}=c^2 u_{tt}+fuxx?=c2utt?+f
評注
引入d’Alembert算子，
□c=?2?t2?c2Δ\Box_c=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \Delta□c?=?t2?2??c2Δ
這里的Δ=???\Delta=\nabla \cdot \nablaΔ=???，是Laplace算子，則homogeneous 1-D wave equation可以表示為
□cu=0\Box_cu=0□c?u=0
inhomogeneous 1-D wave equation可以表示為
□cu=f\Box_cu=f□c?u=f
例2 Helmholtz方程(聲波、光的散射等)
假設
f(x,t)=f0(x)eiwt,u(x,t)=u0eiwtf(x,t)=f_0(x)e^{iwt},u(x,t)=u_0e^{iwt}f(x,t)=f0?(x)eiwt,u(x,t)=u0?eiwt
代入inhomogeneous 1-D wave equation，
Δu0+K2u0=?f0c2,K2=w2c2\Delta u_0+K^2u_0=-\frac{f_0}{c^2},K^2=\frac{w^2}{c^2}Δu0?+K2u0?=?c2f0??,K2=c2w2?
這就是Helmholtz方程；計算
□cu=?2u?t2?c2Δu=?u0w2eiwt?c2Δu0eiwt=f0eiwt\Box_cu=\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2 \Delta u =-u_0w^2e^{iwt}-c^2\Delta u_0 e^{iwt}=f_0e^{iwt}□c?u=?t2?2u??c2Δu=?u0?w2eiwt?c2Δu0?eiwt=f0?eiwt
約掉eiwte^{iwt}eiwt就可以得到Helmholtz方程。
這里的www是頻率，因此KKK的含義是波數(wave number)，
[K2]=[w2][c2]=1/T2L2/T2=1L2,[K]=1[L][K^2]=\frac{[w^2]}{[c^2]}=\frac{1/T^2}{L^2/T^2}=\frac{1}{L^2},[K]=\frac{1}{[L]}[K2]=[c2][w2]?=L2/T21/T2?=L21?,[K]=[L]1?
例3 一維熱傳導方程
考慮一根放在xxx軸上的很細的均勻實心金屬管，考慮xxx到x+dxx+d xx+dx這一段微元，AAA是截面積，LLL是金屬管長度，用u(x,t)u(x,t)u(x,t)表示溫度場，ρ(x,t)\rho(x,t)ρ(x,t)表示密度，ccc表示比熱容。這一段微元的元質量為ρAdx\rho A dxρAdx，元熱量為cu(x,t)ρAdxcu(x,t)\rho A dxcu(x,t)ρAdx。在x∈(a,b)x \in (a,b)x∈(a,b)上，熱量為
Q=∫abcu(x,t)ρAdxQ = \int_a^bcu(x,t)\rho A dxQ=∫ab?cu(x,t)ρAdx
根據Fourier定律，heat flux與溫度場的負梯度成正比，用kkk表示熱傳導系數，則
F(x,t)=?k?u(x,t)?xF(x,t)=-k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}F(x,t)=?k?x?u(x,t)?
于是通過(a,b)(a,b)(a,b)的heat flux為
A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]=∫abA??x(k?u(x,t)?x)dxA[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]=\int_a^b A\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})dxA[k?x?u(b,t)??k?x?u(a,t)?]=∫ab?A?x??(k?x?u(x,t)?)dx
假設無熱源，根據能量守恒
dQdt=A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]cρut=Kuxx,K=kcρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}] \\ c\rho u_t=Ku_{xx},K=\frac{k}{c \rho}dtdQ?=A[k?x?u(b,t)??k?x?u(a,t)?]cρut?=Kuxx?,K=cρk?
假設存在熱源q1(x,t)q_1(x,t)q1?(x,t)，則根據能量守恒定律，
dQdt=A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]+∫abq1(x,t)dxut=Kuxx+q,K=kcρ,q=q1cρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]+\int_a^b q_1(x,t)dx \\ u_t=Ku_{xx}+q,K=\frac{k}{c \rho},q=\frac{q_1}{c\rho}dtdQ?=A[k?x?u(b,t)??k?x?u(a,t)?]+∫ab?q1?(x,t)dxut?=Kuxx?+q,K=cρk?,q=cρq1??
總結
以上是生活随笔為你收集整理的偏微分方程I PDE的例子1 一维波动与热传导方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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