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偏微分方程I PDE的例子1 一维波动与热传导方程

發(fā)布時間：2025/4/14 编程问答 36 豆豆

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偏微分方程I PDE的例子1 一維波動與熱傳導方程

一些著名的偏微分方程(partial differential equations, PDE)的例子：

波動方程（一維的wave equation是d‘Alembert、Bernoulli導出的，Euler導出了二維的wave equation）

熱傳導方程（Fourier導出）

Navier-Stokes方程（流體力學）

Maxwell方程（電磁理論）

Boltzmann方程（統(tǒng)計力學）

Schroedinger方程（量子力學）

Black-Scholes方程（期權(quán)定價）

例1 一維波動方程
考慮一根被固定在 $x = 0$ 與 $x = L$ 處的弦的波動， $u (x, t)$ 是 $t$ 時刻 $x$ 位置的撓度，我們考慮 $x$ 與 $x+Δxx+\Delta x$ 這兩個位置，假設(shè) $t$ 時刻它們的張力大小為 $T$ ，與水平方向的夾角分別為 $ψ,ψ+Δψ\psi,\psi+\Delta \psi$ ，考慮這一段微元，張力在豎直方向的合力為
$T[sin?(ψ+Δψ)?sin?(ψ)]≈T[tan?(ψ+Δψ)?tan?(ψ)]=T[?u(x+Δx,t)?x??u(x,t)?x]=T?2u(x+ξΔx,t)?x2Δx,?ξ∈(0,1)T[\sin (\psi+\Delta \psi)-\sin(\psi)]\approx T[\tan (\psi+\Delta \psi)-\tan(\psi)] \\ = T[\frac{\partial u(x+\Delta x,t)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}]=T\frac{\partial^2 u(x+\xi \Delta x,t)}{\partial x^2}\Delta x,\exists \xi \in (0,1)$

最后一步用的Lagrange中值定理。根據(jù)牛頓第二定律，
$TuxxΔx=ρΔxutt,Tρuxx=uttTu_{xx}\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} ,\frac{T}{\rho} u_{xx}=u_{tt}$

這里的 $ρ\rho$ 是線密度。我們稱這樣的方程是homogeneous 1-D wave equation（齊次一維波動方程），它的一般形式為
$u_{xx}=c^2 u_{tt}$

這里的 $c$ 的量綱是速度，
$[c2]=[T][ρ]=ML/T2M/L=L2T2,[c]=LT[c^2]=\frac{[T]}{[\rho]}=\frac{ML/T^2}{M/L}=\frac{L^2}{T^2},[c]=\frac{L}{T}$

它實際弦在波動時的波的傳播速度。

假設(shè)弦在豎直方向受載荷 $F (x, t)$ 的作用，則
$TuxxΔx+F(x,t)Δx=ρΔxuttutt=c2uxx+FρTu_{xx}\Delta x+F(x,t)\Delta x=\rho \Delta x u_{tt} \\ u_{tt}=c^2u_{xx}+\frac{F}{\rho}$ 我們稱這樣的方程是inhomogeneous 1-D wave equation（非齊次一維波動方程），它的一般形式為
$u_{xx}=c^2 u_{tt}+f$

評注
引入d’Alembert算子，
$□c=?2?t2?c2Δ\Box_c=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \Delta$

這里的 $Δ=???\Delta=\nabla \cdot \nabla$ ，是Laplace算子，則homogeneous 1-D wave equation可以表示為
$□cu=0\Box_cu=0$

inhomogeneous 1-D wave equation可以表示為
$□cu=f\Box_cu=f$

例2 Helmholtz方程(聲波、光的散射等)
假設(shè)
$f(x,t)=f_0(x)e^{iwt},u(x,t)=u_0e^{iwt}$

代入inhomogeneous 1-D wave equation，
$Δu0+K2u0=?f0c2,K2=w2c2\Delta u_0+K^2u_0=-\frac{f_0}{c^2},K^2=\frac{w^2}{c^2}$

這就是Helmholtz方程；計算
$□cu=?2u?t2?c2Δu=?u0w2eiwt?c2Δu0eiwt=f0eiwt\Box_cu=\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2 \Delta u =-u_0w^2e^{iwt}-c^2\Delta u_0 e^{iwt}=f_0e^{iwt}$

約掉 $e^{iwt}$ 就可以得到Helmholtz方程。

這里的 $w$ 是頻率，因此 $K$ 的含義是波數(shù)(wave number)，
$[K2]=[w2][c2]=1/T2L2/T2=1L2,[K]=1[L][K^2]=\frac{[w^2]}{[c^2]}=\frac{1/T^2}{L^2/T^2}=\frac{1}{L^2},[K]=\frac{1}{[L]}$

例3 一維熱傳導方程
考慮一根放在 $x$ 軸上的很細的均勻?qū)嵭慕饘俟?#xff0c;考慮 $x$ 到 $x + d x$ 這一段微元， $A$ 是截面積， $L$ 是金屬管長度，用 $u (x, t)$ 表示溫度場， $ρ(x,t)\rho(x,t)$ 表示密度， $c$ 表示比熱容。這一段微元的元質(zhì)量為 $ρAdx\rho A dx$ ，元熱量為 $cu(x,t)ρAdxcu(x,t)\rho A dx$ 。在 $\in (a,b)$ 上，熱量為
$\int_a^bcu(x,t)\rho A dx$

根據(jù)Fourier定律，heat flux與溫度場的負梯度成正比，用 $k$ 表示熱傳導系數(shù)，則
$F(x,t)=?k?u(x,t)?xF(x,t)=-k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$

于是通過 $(a, b)$ 的heat flux為
$A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]=∫abA??x(k?u(x,t)?x)dxA[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]=\int_a^b A\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})dx$

假設(shè)無熱源，根據(jù)能量守恒
$dQdt=A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]cρut=Kuxx,K=kcρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}] \\ c\rho u_t=Ku_{xx},K=\frac{k}{c \rho}$

假設(shè)存在熱源 $q_1(x,t)$ ，則根據(jù)能量守恒定律，
$dQdt=A[k?u(b,t)?x?k?u(a,t)?x]+∫abq1(x,t)dxut=Kuxx+q,K=kcρ,q=q1cρ\frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]+\int_a^b q_1(x,t)dx \\ u_t=Ku_{xx}+q,K=\frac{k}{c \rho},q=\frac{q_1}{c\rho}$

總結(jié)

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