常微分方程I ODE的例子1 彈簧的振動、RLC電路與單擺

例1 彈簧的振動
考慮一端固定的彈力系數為$k$的彈簧連接質量為$m$在水平方向的振動，假設阻力與速度成正比，比例系數為$c$，外力為$f(t)$，根據牛頓第二定律，
$$m\ddot{x}=?c\dot{x}?kx+f(t)$$

或者寫為
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f(t)$$

假設初始位置為$x(0)=x_0$，初始速度為$\dot{x}(0)=v_0$，于是彈簧的振動就是一個初值問題。

下面討論一些特殊情況：
i）簡諧運動，$c=0,f(t)=0$，則
$$m\ddot{x}+kx=0$$

令$w=\sqrt{k/m}$，它表示振動的頻率，則
$$\ddot{x}+w^{2}x=0$$

ii) 共振，$c=0,f(t)=F\cos wt$，則
$$\ddot{x}+w_0^{2}x=\frac{F}{m}\cos wt,w_0=\sqrt{k/m}$$

稱$w_0$為自然頻率，當$w=w_0$時產生共振。

我們可以將彈簧振動的方程寫成一階ODE system的形式，定義
$$x_1=x,x_2=\dot{x}$$

則
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f?\frac{c}{m}{x}_2?\frac{k}{m}{x}_1\end{array}$$

例2 RLC電路
把電源、電阻、電感、電容串聯起來就是一個RLC電路，用$I(t)$表示電流，$Q(t)$表示charge density，則
$$I=\dot{Q}$$

用$V(t)$表示電源兩端的電壓，根據歐姆定律、法拉第定律、電容的定義
$$V=RI+L\dot{I}+\frac{Q}{C}$$

所以
$$L\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{1}{C}Q=V$$

這個方程與彈簧振動的方程幾乎一致，它的應用是我們可以用電路實驗代替力學實驗。

例3 單擺的運動
考慮一個單擺，懸掛物體質量為$m$，擺長為$l$，與豎直方向的夾角為$\theta$。根據牛頓第二定律，$F=ma$，$F$與$a$均沿運動軌跡的切線方向，其中
$$\begin{gathered} a=l\ddot{\theta } \\ F=?mg\sin \theta \end{gathered}$$

于是
$$\begin{gathered} ml\ddot{\theta }=?mg\sin \theta \\ \ddot{\theta }+\frac{g}{l}\sin \theta =0 \end{gathered}$$

給定初值時，我們可以確定一種單擺的運動。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的常微分方程I ODE的例子1 弹簧的振动、RLC电路与单摆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。