概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的算子半群 第一講 Banach-Steinhaus定理1 Baire's Category與Banach-Steinhaus定理的證明

• • Baire's Category Theorem
  • Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

寫(xiě)在前面

在隨機(jī)微分方程那個(gè)系列中，我們?cè)谟懻揗arkov family的時(shí)候引入了Markov family的算子半群，這是一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論中非常強(qiáng)大的分析工具。在隨機(jī)分析中，算子半群可以用來(lái)分析Markov過(guò)程與Levy過(guò)程的性質(zhì)，進(jìn)而分析某些隨機(jī)微分方程的解的構(gòu)造；在統(tǒng)計(jì)計(jì)算的理論中，算子半群可以用來(lái)表達(dá)一種MCMC類(lèi)的算法，這樣就能把算法的收斂與誤差分析化歸為對(duì)算子半群的范數(shù)的討論。所以我打算單獨(dú)開(kāi)一個(gè)系列，介紹概統(tǒng)中的算子半群。

Baire’s Category Theorem

Baire’s Category Theorem是泛函分析中的經(jīng)典結(jié)果，我們先引入這個(gè)工具。

nowhere dense
$(X,\Vert ?\Vert )$是一個(gè)賦范線性空間，$S$是它的子集；
$?x\in X,?>0$，$B(x,?)=\{y\in X:\Vert y?x\Vert <?\}$被稱(chēng)為$X$中的open ball；
$?x\in X,?>0$，$\bar{B}(x,?)=\{y\in X:\Vert y?x\Vert \le ?\}$被稱(chēng)為$X$中的closed ball；
稱(chēng)$S$ nowhere dense if and only if (in short, iff) $S$的閉包($clS$)不包含任何open ball，另一種表述為任意open ball $B$都有一個(gè)open ball子集$B^{\prime }$，使得$S\cap B^{\prime }=?$；

Baire first category set
在拓?fù)淇臻g中，能被可列個(gè)nowhere dense集合的并表示的集合被稱(chēng)為Baire first category set；

Baire second category set
在拓?fù)淇臻g中，能被可列個(gè)nowhere dense集合或者開(kāi)集的并表示的集合被稱(chēng)為Baire second category set，或者不是Baire first category set的集合就是Baire second category set；

Baire’s Category Theorem
Banach空間不能表示成可列個(gè)nowhere dense集合的并（也就是說(shuō)Banach空間不是Baire first category set，它是Baire second category set）

證明思路
用反證法，假設(shè)$X$是Banach空間，$\{S_n\}$是可列個(gè)nowhere dense集合，并且
$$X=\underset{n\in \mathbb{N}}{?}{S}_n$$

假設(shè)$B_0=B(0,1)$，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$S_1$ nowhere dense，于是$?B_1?B_0$，$B_1$是open ball并且$B_1\cap S_1=?$；我們可以假設(shè)$B_1$的半徑小于$1/2$，如果$B_1$的半徑大于$1/2$，我們總是可以找到一個(gè)更小的open ball與$S_1$無(wú)交；

重復(fù)這個(gè)過(guò)程，$S_2$ nowhere dense，于是存在$B_1$的open ball子集$B_2$使得$S_2$與$B_2$無(wú)交且$B_2$的半徑小于$1/3$；

對(duì)于一般情形，存在半徑小于$\frac{1}{n+2}$的open ball $B_{n+1}$與$S_{n+1}$無(wú)交；

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">${?}_{n\in \mathbb{N}}cl{B}_n$非空（為了更加嚴(yán)謹(jǐn)，這個(gè)結(jié)果需要證明），于是$?x\in cl{B}_n,?n$，那么$x$一定也是Banach空間中的點(diǎn)；但是$B_n$與$S_n$無(wú)交，于是$x$不屬于任意$S_n$，所以
$$x\in /\underset{n\in \mathbb{N}}{?}{S}_n$$

這樣我們就說(shuō)明了$?x\in X,x\in /{?}_{n\in \mathbb{N}}{S}_n$，這與$X={?}_{n\in \mathbb{N}}{S}_n$矛盾。

Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

假設(shè)$X$是一個(gè)Banach空間，$\{A_n\}$是可列個(gè)$X$上的有界線性算子，$?x\in X$，${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_{n}x\Vert$有界，則${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_n\Vert$有界；

證明思路
定義$$S_n=\{x\in X:\underset{k\ge 1}{\sup }\Vert A_{k}x\Vert \le n\}$$因?yàn)橛薪缇€性算子等價(jià)于連續(xù)線性算子，所以$A_n$連續(xù)，因此$S_n$是閉集；并且
$$X=\underset{n\ge 1}{?}{S}_n$$

根據(jù)Baire’s Category Theorem，$S_n$不是Baire first category set，于是存在一個(gè)$S_l$有closed ball子集$\bar{B}(x,r)$，考慮$y\in X$，引入向量
$$z=x+\frac{r}{\Vert y\Vert }y\in \bar{B}(x,r)$$

則
$$\Vert A_{n}y\Vert =\Vert \frac{\Vert y\Vert }{r}{A}_{n}z?\frac{\Vert y\Vert }{r}{A}_{n}x\Vert \le \frac{\Vert y\Vert }{r}\Vert A_{n}z\Vert +\frac{\Vert y\Vert }{r}\Vert A_{n}x\Vert \le \frac{2l}{r}\Vert y\Vert$$

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$x,z\in \bar{B}(x,r)?S_l$，于是
$$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert A_n\Vert \le \frac{2l}{r}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计中的算子半群 第一讲 Banach-Steinhaus定理1 Baire‘s Category与Banach-Steinhaus定理的证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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