概率論與數理統計中的算子半群 第一講 Banach-Steinhaus定理2 Banach-Steinhaus定理的應用

上一講我們介紹了Banach-Steinhaus定理：

Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)
假設$X$是一個Banach空間，$\{A_n\}$是可列個$X$上的有界線性算子，$?x\in X$，${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_{n}x\Vert$有界，則${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_n\Vert$有界；

這個定理是泛函分析中非常重要的一個工具，當我們需要用到一列有界線性算子的范數一致有界的結果時，我們就可以用這個定理。

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推論1 假設$\{A_n\}$是Banach空間$X$上的可列個連續線性算子，如果$?x\in X$，$A_{n}x$的極限存在，則${\lim }_{n\to \infty }{A}_n$是有界線性算子；

證明
根據極限的線性性，不難驗證${\lim }_{n\to \infty }{A}_n$是線性算子，我們記$A={\lim }_{n\to \infty }{A}_n$，則
$$\Vert Ax\Vert =\Vert \underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{n}x\Vert =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A_{n}x\Vert$$

因為$?x\in X$，$A_{n}x$的極限存在，所以$?x\in X$，${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_{n}x\Vert$有界，根據Banach-Steinhaus定理，$A_n$的范數一致有界，不妨假設上界為$K$，則
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A_{n}x\Vert \le K\Vert x\Vert$$

所以$A$是有界算子。

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推論2 假設$A_t,t\in (0,1]$是一族有界線性算子，假設$?x\in X$，$A_{t}x$在$t\to 0$處的極限存在，則$?\delta >0$，${\sup }_{0<t\le \delta }\Vert A_t\Vert <\infty$；

證明
與推論1相比，推論2討論的是不可列的一族有界線性算子，它的難點在于我們的工具——Banach-Steinhaus定理——提供的是處理可列個有界線性算子的方法，所以我們的思路是把需要證明的結果離散化。

反證：假設$?\delta >0$，${\sup }_{0<t\le \delta }\Vert A_t\Vert >\infty$，于是$?n\in \mathbb{N}$，$?t_n<1/n$，使得$\Vert A_{t_n}\Vert \ge n$；

現在我們看一下這個定理的條件，$?x\in X$，$A_{t}x$在$t\to 0$處的極限存在，則$A_{t_n}x$的極限也存在，這說明$?x\in X$，$A_{t_n}x$有界，根據Banach-Steinhaus定理，$A_{t_n}$的范數一致有界，這就與反證的假設相悖了；

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推論3 $Y$是Banach空間$X$的緊子集，假設$A,A_n,n\ge 1$是$X\to Z$的有界線性算子，其中$Z$是一個賦范線性空間，${\lim }_{n\to \infty }{A}_{n}x=Ax$，則
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{y\in Y}{\sup }\Vert A_{n}y?Ay\Vert =0$$

證明
這個結論可以與數學分析中的相關結果對應起來：$\mathbb{R}$上的一列收斂的函數在$\mathbb{R}$的任意有界閉集上是一致收斂的；

給定$?>0$，因為$Y$是緊集，所以$?k\in \mathbb{N}$，$?y_1,?,y_k$使得$?y\in Y$，$?y_i\in \{y_1,?,y_k\}$，
$$\Vert y?y_i\Vert <\frac{?}{4M},?M>0$$

${\lim }_{n\to \infty }{A}_{n}x=Ax$說明所有的$A_{n}x$有界，于是$A_n$的范數一致有界，用$M$表示這個上界。估計$\Vert A_{n}y?Ay\Vert$，
$$\begin{gathered} \Vert A_{n}y?Ay\Vert \le \Vert A_{n}y?A_n{y}_i\Vert +\Vert A_n{y}_i?A{y}_i\Vert +\Vert A{y}_i?Ay\Vert \\ \le (\Vert A_n\Vert +\Vert A\Vert )\underset{i=1,?,k}{\max }\Vert y?y_i\Vert +\underset{i=1,?,k}{\max }\Vert A_n{y}_i?A{y}_i\Vert \end{gathered}$$

第一項的上界為
$$2M\underset{i=1,?,k}{\max }\Vert y?y_i\Vert <2M\frac{?}{4M}=\frac{?}{2}$$

因為${\lim }_{n\to \infty }{A}_{n}x=Ax,?x\in X$，于是在$n$足夠大時，我們可以把${\max }_{i=1,?,k}\Vert A_n{y}_i?A{y}_i\Vert$控制在$\frac{?}{2}$以內，于是

$$\Vert A_{n}y?Ay\Vert <?$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计中的算子半群 第一讲 Banach-Steinhaus定理2 Banach-Steinhaus定理的应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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