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UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础3 麦克斯韦方程的势能形式

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 33 豆豆

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UA PHYS515 電磁理論I 麥克斯韋方程組基礎(chǔ)3 麥克斯韋方程的勢(shì)能形式

- 定義電磁場(chǎng)的potential
- 改寫Maxwell方程

上一講我們基于實(shí)驗(yàn)定律導(dǎo)出了真空中電磁場(chǎng)的Maxwell方程：

$??E?=4πρ??B?=0?×E?=??B??t?×B?=4πJ?+?E??t\nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B}=4\pi \vec{J}+\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

同時(shí)我們也提到了Maxwell方程包含8個(gè)獨(dú)立方程，但只有6個(gè)未知量 $E?=(Ex,Ey,Ez)\vec{E}=(E_x,E_y,E_z)$ 以及 $B?=(Bx,By,Bz)\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ ，所以從數(shù)學(xué)上看Maxwell方程是一個(gè)超定系統(tǒng)。盡管在數(shù)學(xué)上我們也是可以處理超定系統(tǒng)的，但我們更希望能用一些簡(jiǎn)單的、有物理學(xué)意義的reformulation把它變成正定系統(tǒng)。

定義電磁場(chǎng)的potential

我們可以定義電場(chǎng)與磁場(chǎng)的"potential"，它們的"potential"可以使得Maxwell方程中的某些方程成為恒等式，這樣我們就可以減少有效方程數(shù)目了。根據(jù)第二個(gè)方程，
$??B?=0\nabla \cdot \vec{B} = 0$

引入 $A?\vec{A}$ 表示磁場(chǎng)的"potential"（上一講的 $dA?d\vec{A}$ 表示的是面積微元，方向?yàn)榍娴耐夥ň€方向），需要注意的是在場(chǎng)論中稱這樣的potential為vector potential，假設(shè)它滿足
$?×A?=B?\nabla \times \vec{A} = \vec{B}$

根據(jù)場(chǎng)論恒等式
$??(?×A?)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A} )=0$

也就是說用"potential"表示磁場(chǎng)，則Maxwell方程組的第二個(gè)方程自然成立。將這種表示代入Maxwell方程的第三個(gè)方程中，
$?×E?=???t?×A??×(E?+?A??t)=0\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial }{\partial t} \nabla \times \vec{A} \\ \nabla \times (\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0$

根據(jù)場(chǎng)論恒等式，
$?×(?f)=0\nabla \times (\nabla f)=0$

這里的 $f$ 表示任意scalar函數(shù)，于是 $?Φ\exists \Phi$ ，使得
$E?=??A??t??Φ\vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi$

這樣我們就得到了電場(chǎng)與磁場(chǎng)的“potential”， $A?,Φ\vec{A},\Phi$ ，以及電場(chǎng)與磁場(chǎng)由“potential”表達(dá)的公式：
$?×A?=B?E?=??A??t??Φ\nabla \times \vec{A} = \vec{B} \\ \vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi$

并且在"potential"的表示之下，Maxwell方程中第二個(gè)與第三個(gè)方程成為恒等式。

改寫Maxwell方程

下面我們把電場(chǎng)與磁場(chǎng)代入Gauss方程：
$??E?=??(??A??t??Φ)=?ΔΦ???t(??A?)=4πρ\nabla \cdot \vec{E}=\nabla \cdot(-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi)=-\Delta \Phi - \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=4\pi \rho$

其中 $Δ=???\Delta = \nabla \cdot \nabla$ ，它是Laplace算子，所以
$ΔΦ+??t(??A?)=?4πρ\Delta \Phi+ \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=-4\pi \rho$

然后我們把電場(chǎng)與磁場(chǎng)代入Ampere定律中，
$?×B?=?×(?×A?)=4πJ?+??t(??A??t??Φ)\nabla \times \vec{B}=\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=4\pi \vec{J}+\frac{\partial }{\partial t} (-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \Phi)$

根據(jù)場(chǎng)論關(guān)系式，
$?×(?×A?)=?(??A?)?ΔA?\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}$

所以
$?(??A?)?ΔA?=4πJ???2A??2t???t?Φ\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}=4\pi \vec{J}-\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}-\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi$

于是
$?(??A?)?ΔA?+?2A??2t+??t?Φ=4πJ?\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}+\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}+\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi=4\pi \vec{J}$

綜上，我們可以把電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度替換為磁場(chǎng)的向量勢(shì) $A?\vec{A}$ 與電場(chǎng)的某種勢(shì)能 $Φ\Phi$ （四個(gè)未知量），這樣Maxwell方程可以簡(jiǎn)化為
$ΔΦ+??t(??A?)=?4πρ?(??A?)?ΔA?+?2A??2t+??t?Φ=4πJ?\Delta \Phi+ \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=-4\pi \rho \\ \nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}+\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}+\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi=4\pi \vec{J}$

這個(gè)方程組有4個(gè)自由方程，是一個(gè)正定系統(tǒng)，并且這個(gè)方程組右邊表示電磁場(chǎng)的source，包括電荷密度 $ρ\rho$ 與電流密度 $J?=(Jx,Jy,Jz)\vec{J}=(J_x,J_y,J_z)$ ，等式左邊包含方程組的未知量，磁場(chǎng)的向量勢(shì) $A?=(Ax,Ay,Az)\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$ 與電場(chǎng)的“勢(shì)” $Φ\Phi$ 。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础3 麦克斯韦方程的势能形式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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