UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题1 Maxwell方程与静磁学问题
UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學問題1 Maxwell方程與靜磁學問題
- 靜磁學的Maxwell方程
- 畢奧-薩伐爾定律
- 安培定律
靜磁學的Maxwell方程
假設電場與電位移為0，B?\vec{B}B與H?\vec{H}H與時間無關，B?\vec{B}B是magnetic induction，H?\vec{H}H是magnetic field，在各向同性介質中
H?=μ′B?,μ′=1μ\vec{H}=\mu'\vec{B},\mu' = \frac{1}{\mu}H=μ′B,μ′=μ1?
在上面這些設定下，我們討論的問題就是靜磁學(magnetostatics)問題；這時我們需要的是Maxwell方程組中描述磁場的兩個方程：
??B?=0?×H?=4πJ?\nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{H} = 4\pi \vec{J}??B=0?×H=4πJ
畢奧-薩伐爾定律
我們從比較一般的情況出發，試圖導出B?\vec BB的積分形式，根據Biot-Savart定律，
dB?=Idl?′×(r??r?′)c∣r??r?′∣3d\vec B = \frac{Id\vec l' \times (\vec r - \vec r')}{c|\vec r - \vec r'|^3}dB=c∣r?r′∣3Idl′×(r?r′)?
其中r?\vec{r}r表示觀察位置，r?′\vec r'r′表示電流微元位置；我們對這個公式中的部分因子做一些替換，首先
r??r?′∣r??r?′∣3=??1∣r??r?′∣\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^3}=-\nabla \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}∣r?r′∣3r?r′?=??∣r?r′∣1?
然后我們把電流微元用體積上的電流密度表示
Idl?′=J?dx′dy′dz′I d\vec l'=\vec J dx'dy'dz'Idl′=Jdx′dy′dz′
因此
dB?=?1cJ?×?1∣r??r?′∣dx′dy′dz′d \vec B = -\frac{1}{c} \vec J \times \nabla \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'dB=?c1?J×?∣r?r′∣1?dx′dy′dz′
下面我們使用一個場論恒等式，a?\vec aa是一個矢量場，bbb是一個標量場，則
?×(ba?)=?b×a?+b?×a?\nabla \times (b \vec a) = \nabla b \times \vec a+b \nabla \times \vec a?×(ba)=?b×a+b?×a
取a?=J?,b=1∣r??r?′∣\vec a = \vec J,b=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}a=J,b=∣r?r′∣1?，因為J?=J?(r?′)\vec J = \vec J(\vec r')J=J(r′)，于是?J?=0\nabla \vec J = 0?J=0，
?×J?∣r??r?′∣=?(1∣r??r?′∣)×J?\nabla \times \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}=\nabla \left( \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} \right)\times \vec J?×∣r?r′∣J?=?(∣r?r′∣1?)×J
綜上
dB?=1c?×J?∣r??r?′∣dx′dy′dz′B?=1c?×∫VJ?(r?′)∣r??r?′∣dx′dy′dz′d\vec B = \frac{1}{c} \nabla \times \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz' \\ \vec B = \frac{1}{c} \nabla \times \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'dB=c1??×∣r?r′∣J?dx′dy′dz′B=c1??×∫V?∣r?r′∣J(r′)?dx′dy′dz′
這說明B?\vec BB是某個矢量場的旋度，根據守恒律，B?\vec BB的散度為0，于是??B?=0\nabla \cdot \vec B=0??B=0成立；另外這個式子還可以直接得到磁場的向量勢的形式：
A?=1c∫VJ?∣r??r?′∣dx′dy′dz′\vec A = \frac{1}{c} \int_V \frac{\vec J}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'A=c1?∫V?∣r?r′∣J?dx′dy′dz′
如果沒有邊界條件，那么上面這兩個式子就是靜磁學問題的解。
安培定律
各向同性介質中，安培定律說的是
?×B?=?×μH?=4πμcJ?\nabla \times \vec B = \nabla \times \mu \vec H = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J?×B=?×μH=c4πμ?J
在用Green函數法求解靜磁學問題時，我們也會經常用
H?=B??4πM?\vec H = \vec B - 4\pi \vec MH=B?4πM
其中M?\vec MM是magnetic dipole的average moment。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题1 Maxwell方程与静磁学问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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