UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题2 标量势方法与向量势方法简介
UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學問題2 標量勢方法與向量勢方法簡介
- 標量勢方法
- 向量勢方法
- Hard Ferromagnets
標量勢方法
當空間中不存在電流密度時（J?=0\vec J=0J=0），可以用標量勢方法求解靜磁學問題，根據安培定律
?×H?=4πcJ?=0\nabla \times \vec H = \frac{4 \pi }{c} \vec J = 0?×H=c4π?J=0
于是我們可以引入ΦM\Phi_MΦM?作為磁場的標量勢，使得
H?=??ΦM\vec H = -\nabla \Phi_MH=??ΦM?
因為標量場散度的旋度為0，所以這個構造可以使安培定律在J?=0\vec J=0J=0時自然成立，此時（在均勻介質中）
??B?∝?2ΦM=0\nabla \cdot \vec B \propto \nabla^2 \Phi_M = 0??B∝?2ΦM?=0
這樣我們就把靜磁學問題化歸為Laplace方程求解的問題了。
向量勢方法
引入向量勢A?\vec AA使得B?=?×A?\vec B = \nabla \times \vec AB=?×A，這個構造使得B?\vec BB的散度一定為0，因此我們只需要代入安培定律中解A?\vec AA:
?×(?×A?)=?(??A?)??2A?=4πμcJ?\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \nabla(\nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J?×(?×A)=?(??A)??2A=c4πμ?J
與標量勢方法不同的是，向量勢方法并不要求J?=0\vec J = 0J=0；使用Coulomb gauge，我們應用使得??A?=0\nabla \cdot \vec A=0??A=0的參考點，于是
?2A?=?4πμcJ?\nabla^2 \vec A = -\frac{4 \pi \mu}{c} \vec J?2A=?c4πμ?J
這樣我們就可以把靜磁學問題化歸為三個Poisson方程的求解了。
Hard Ferromagnets
假設J?=0,M?≠0\vec J = 0,\vec M \ne 0J=0,M?=0，即H?,B?\vec H,\vec BH,B并不相等，也不一定成正比，但我們知道
B?=H?+4πM?\vec B = \vec H + 4 \pi \vec MB=H+4πM
所以
??B?=??(H?+4πM?)=0??(??ΦM)+4π??M?=0?2ΦM=4π??M?\nabla \cdot \vec B = \nabla \cdot ( \vec H+4\pi \vec M) = 0 \\ \nabla \cdot (-\nabla \Phi_M)+4 \pi \nabla \cdot \vec M = 0 \\ \nabla^2 \Phi_M = 4 \pi \nabla \cdot \vec M??B=??(H+4πM)=0??(??ΦM?)+4π??M=0?2ΦM?=4π??M
這樣就得到了一個Poisson方程，我們可以把???M?-\nabla \cdot \vec M???M看作是磁場的source，記為ρM\rho_MρM?，則
?2ΦM=?4πρM\nabla^2 \Phi_M = -4 \pi \rho_M?2ΦM?=?4πρM?
這就與我們處理過的靜電學問題非常相似了，所以即使是一般介質中的靜磁學問題，也是可以用Green函數法、正交函數法之類的方法求解的。
另外，我們還需要根據安培定律求解B?\vec BB，
?×H?=?×(B??4πM?)=?×?×A??4π?×M?=0??2A?=?4πcJ?M,J?M=c?×M?\nabla \times \vec H = \nabla \times (\vec B - 4 \pi \vec M) \\ = \nabla \times \nabla \times \vec A - 4 \pi \nabla \times \vec M = 0 \\ \Rightarrow \nabla^2 \vec A = -\frac{4 \pi}{c}\vec J_M, \vec J_M = c\nabla \times \vec M?×H=?×(B?4πM)=?×?×A?4π?×M=0??2A=?c4π?JM?,JM?=c?×M
這就是向量勢方法中得到的方程。
總結 靜磁學的常用方程（缺的那個空也有公式的，但感覺關聯不是很大）
| ??B?=0\nabla \cdot \vec B = 0??B=0 | ∮SB??dS?=0\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0∮S?B?dS=0 |
| ?×B?=4πcJ?\nabla \times \vec B = \frac{4 \pi}{c} \vec J?×B=c4π?J | ∮CB??dl?=4πcI\oint_C \vec B \cdot d\vec l = \frac{4 \pi}{c}I∮C?B?dl=c4π?I |
| ?2ΦM=0\nabla^2 \Phi_M=0?2ΦM?=0 | |
| ?2A?=?4πcJ?M\nabla^2 \vec A=-\frac{4 \pi }{c}\vec J_M?2A=?c4π?JM? | A?=1c∫VJ?(r?′)dx′dy′dz′∥r??r?′∥\vec A = \frac{1}{c}\int_V \frac{\vec J(\vec r')dx'dy'dz'}{\|\vec r - \vec r'\|}A=c1?∫V?∥r?r′∥J(r′)dx′dy′dz′? |
總結
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