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UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射5 电磁波在介质中的传播

發布時間：2025/4/14 编程问答 34 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射5 电磁波在介质中的传播小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射5 電磁波在介質中的傳播

在介紹麥克斯韋方程的時候，我們提到過
$D?=E?+4πP?\vec D = \vec E + 4 \pi \vec P$

$P?\vec P$ 表示polarization vector， $D?\vec D$ 是dielectric displacement vector，在各向同性線性介質中，
$D?=?E?\vec D = \epsilon \vec E$

$?\epsilon$ 表示permittivity，是一個常數，現在我們放松這個假設，考慮更一般的設定： $?=?(w)\epsilon=\epsilon(w)$ ，即電磁波的頻率會影響介電常數。下面我們用一個簡單的例子看看頻率與介電常數如何聯系起來。

例假設有一個帶電粒子，它的運動頻率為 $w_0$ (restoring), 阻尼系數為 $γ\gamma$ ，電場為 $E?=E?0e?iwt\vec E = \vec E_0e^{-iwt}$ ，restoring force和friction分別為
$F?rest=?mew02r?F?fric=?meγr?˙\vec F_{rest} = -m_ew_0^2\vec r \\ \vec F_{fric} = -m_e\gamma \dot{\vec r}$

根據牛頓第二定律，
$me(r?¨+γr?˙+w02r?)=eE?m_e(\ddot{\vec r}+\gamma \dot{\vec r}+w_0^2 \vec r)=e \vec E$

這就是經典的周期性外力作用下帶阻尼的彈簧運動方程，它的一個特解是
$r?=eE?/mew02?w2?iwγ\vec r = \frac{e \vec E/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}$

接下來，我們嘗試由外部電場激發出的dipole moment，單個帶電粒子激發出的dipole moment是 $\vec r$ ，假設某個介質含有 $N$ 個這樣的粒子，那么
$P?=Ner?=e2E?N/mew02?w2?iwγ\vec P = Ne \vec r = \frac{e^2 \vec E N/m_e}{w_0^2-w^2 - iw \gamma}$

于是
$D?=(1+4πe2N/mew02?w2?iwγ)E?\vec D = \left( 1+\frac{4 \pi e^2N/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma} \right) \vec E$

顯然介電常數是與頻率有關的，
$?(w)=1+4πe2N/mew02?w2?iwγ\epsilon(w)= 1+\frac{4 \pi e^2N/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}$

現在我們寫出電磁波在介質中傳播的麥克斯韋方程，同樣假設沒有source，那么
$??E?=0??B?=0?×E?+1c?B??t=0?×B??μ?c?E??t=4πμcJ?\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \times \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J$

使用常規技巧，取后兩個方程的旋度化簡可得：
$??2E?+μ?c2?2E??t2=???t4πμcJ???2B?+μ?c2?2B??t2=4πμc?×J?-\nabla^2 \vec E + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial t} \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J \\ -\nabla^2 \vec B + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}= \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J$

這兩個方程是非齊次的四維時空中的波動方程，等式右邊的非齊次項用來model介電常數的頻率相關性，我們可以直接寫出它們特解的形式：
$E?=E?weiwt,B?=B?weiwt\vec E = \vec E_w e^{iwt},\vec B = \vec B_w e^{iwt}$

假設 $J?=J?weiwt\vec J = \vec J_w e^{iwt}$ ，代入原方程后可以得到Helmholtz方程：
$[?2+k2(w)]E?w=?4πicμ?k(w)J?w[?2+k2(w)]B?w=?4πμc?×J?w[\nabla^2 + k^2(w)] \vec E_{w}=-\frac{4 \pi i}{c}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}k(w) \vec J_w \\ [\nabla^2 + k^2(w)] \vec B_{w} =- \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J_w$

其中
$\frac{n(w)w}{c}, n(w)=\sqrt{\mu \epsilon}$

因為 $E?\vec E$ 與 $B?\vec B$ 在電磁場中的地位是對稱的，所以我們希望上面的兩個Helmholtz方程形式再接近一點，為此引入generalized Ohm‘s law：
$J?w=ΓE?w,Γ=ΓRe+iΓIm\vec J_w = \Gamma \vec E_w, \Gamma = \Gamma_{Re}+i \Gamma_{Im}$

將Helmholtz方程合并為
$[?2+k2(w)+i4πn(w)Γc?][E?wB?w]=0[\nabla^2+k^2(w)+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}] \left[ \begin{matrix} \vec E_w \\ \vec B_w \end{matrix} \right]=0$

這就與我們上一章用過的Helmholtz方程不一樣了，所以我們重新定義一下wave number：
$k'(w)]^2=[k(w)]^2+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}$

于是
$E?w=E?0eik′(w)?r?=E?0eikr′(w)?r??propagation?e?ki′(w)?r??attenuation\vec E_w = \vec E_0 e^{ik'(w) \cdot \vec r} \\ = \vec E_0 \underbrace{e^{ik'_r(w)\cdot \vec r}}_{propagation} \cdot \underbrace{e^{-k'_i(w) \cdot \vec r}}_{attenuation}$

考慮幾種特例： $Γ=?iNwe2me(w02?w2?iwγ)\Gamma = \frac{-iNwe^2}{m_e(w_0^2-w^2-iw\gamma)}$

介質是導體（存在自由電荷，也存在固定的電荷）：導體中

w0=0,w<<γw_0=0,w<<\gamma

，所以

Γ≈e2Nmeγ\Gamma \approx \frac{e^2N}{m_e\gamma}

我們非常熟悉的歐姆定律就是這個公式。

Γ\Gamma

是實數，則wave number是復數，這時propagation項不存在，也就是說除非介質非常非常薄，不然電磁波幾乎無法通過介質（比較直觀的一個例子是金屬不透光）

介質是dielectric（不存在自由電荷，但固定電荷可極化）：

Γ\Gamma

是虛數，則wave number是實數，這時attenuation項不復存在，電磁波可以沒有衰減地通過介質

介質是plasma（全是自由電荷）：plasma不存在restoring force與friction，

w0=γ=0w_0=\gamma=0

，

(k′)2=k2(1?4πNe2mew2?)(k')^2=k^2(1-\frac{4 \pi Ne^2}{m_e w^2 \epsilon})

定義plasma frequency

wp2=4πNe2me?w_p^2 = \frac{4 \pi Ne^2}{m_e \epsilon}

如果

w>w_p

，則

k^{'}

是實數；如果

w<w_p

，則

k^{'}

是虛數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射5 电磁波在介质中的传播的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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