UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射7 运动点电荷的辐射
UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射7 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的輻射
實(shí)際問題中輻射的source都是比較復(fù)雜的charge density與currency density，但作為比較簡(jiǎn)單直觀易于理解的模型，我們可以先學(xué)習(xí)point charge與point currency。用ro(t~)\textbf r_o(\tilde t)ro?(t~)表示point charge的位移，這里的ttt加了上標(biāo)是為了強(qiáng)調(diào)這是retarded time，也就是source在過去某個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生電磁波然后在未來某個(gè)時(shí)刻被我們觀察到。用x\textbf xx表示觀察者的位移，當(dāng)觀察者觀察到電磁波時(shí)，point charge的位移為ro(t)\textbf r_o(t)ro?(t)，用這個(gè)位移作為參考位移。
point charge的density為
ρ(r′,t′)=qδ(r′?ro(t′))J(r′,t′)=qvδ(r′?ro(t′))\rho(\textbf r',t')=q\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t')) \\ \textbf J(\textbf r',t')=q\textbf v \delta(\textbf r'-\textbf r_o(t'))ρ(r′,t′)=qδ(r′?ro?(t′))J(r′,t′)=qvδ(r′?ro?(t′))
假設(shè)∣v∣<<c|\textbf v|<<c∣v∣<<c，否則需要引入狹義相對(duì)論來完成推導(dǎo)，標(biāo)量勢(shì)與向量勢(shì)滿足
(?2?1c2?2?t2)A=?4πcJ(?2?1c2?2?t2)Φ=?4πρ(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\textbf A = -\frac{4 \pi}{c} \textbf J \\ (\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}) \Phi = -4 \pi \rho(?2?c21??t2?2?)A=?c4π?J(?2?c21??t2?2?)Φ=?4πρ
用含時(shí)Green函數(shù)法寫出potential的積分解
Φ(x,t)=?ρ(r′,t′)δ(t′?t+∣x?r′∣c)∣x?r′∣dr′dt′=∫ρ(r′,t?∣x?r′∣c)∣x?r′∣dr′=q∫δ(r′?ro(t?∣x?r′∣c))∣x?r′∣dr′A(x,t)=1c∫J(r′,t?∣x?r′∣c)∣x?r′∣dr′=q∫β?(t?∣x?r′∣c)δ(r′?ro(t?∣x?r′∣c))∣x?r′∣dr′\Phi(\textbf x,t)= \iint \rho(\textbf r',t') \frac{\delta(t'-t+\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' dt' \\= \int \frac{\rho(\textbf r',t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' = q \int \frac{\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{|\textbf x - \textbf r'|}{c}))}{|\textbf x - \textbf r'|}d\textbf r' \\ \textbf A(\textbf x ,t)=\frac{1}{c}\int \frac{\textbf J (\textbf r',t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})}{|\textbf x - \textbf r'|}d \textbf r' \\ =q \int \frac{\vec \beta(t-\frac{|\textbf x-\textbf r'|}{c})\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{|\textbf x - \textbf r'|}{c}))}{|\textbf x - \textbf r'|}d\textbf r' Φ(x,t)=?ρ(r′,t′)∣x?r′∣δ(t′?t+c∣x?r′∣?)?dr′dt′=∫∣x?r′∣ρ(r′,t?c∣x?r′∣?)?dr′=q∫∣x?r′∣δ(r′?ro?(t?c∣x?r′∣?))?dr′A(x,t)=c1?∫∣x?r′∣J(r′,t?c∣x?r′∣?)?dr′=q∫∣x?r′∣β?(t?c∣x?r′∣?)δ(r′?ro?(t?c∣x?r′∣?))?dr′
接下來就比較難搞了，因?yàn)镈irac函數(shù)的自變量是函數(shù)，所以需要引入一些關(guān)于Dirac函數(shù)的新的技巧來完成后續(xù)積分。
記R=x?r′\textbf R=\textbf x - \textbf r'R=x?r′，n^\hat nn^表示R\textbf RR的方向，考慮Φ\PhiΦ的表達(dá)式：
q∫δ(r′?ro(t?Rc))Rdr′q \int \frac{\delta(\textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{R}{c}))}{R}d\textbf r' q∫Rδ(r′?ro?(t?cR?))?dr′
定義
r?=r′?ro(t?Rc)dr?=[1?n^(t~)?β?(t~)]d3r′\textbf r^* = \textbf r'-\textbf r_o(t-\frac{R}{c}) \\ d \textbf r^* = [1-\hat n(\tilde t) \cdot \vec \beta(\tilde t)] d^3 \textbf r'r?=r′?ro?(t?cR?)dr?=[1?n^(t~)?β?(t~)]d3r′
變換積分變量，
Φ=q∫δ(r?)d3r?∣x?r??r0(t~)∣(1?n^?β?)=q(1?n^?β?)R∣t~\Phi = q \int \frac{\delta(\textbf r^*)d^3 \textbf r^*}{|\textbf x-\textbf r^*-\textbf r_0(\tilde t)|(1-\hat n \cdot \vec \beta)} = \frac{q}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R}|_{\tilde t}Φ=q∫∣x?r??r0?(t~)∣(1?n^?β?)δ(r?)d3r??=(1?n^?β?)Rq?∣t~?
同樣的方法可以得到
A=qβ?(1?n^?β?)R∣t~\textbf A = \frac{q \vec \beta}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R }|_{\tilde t}A=(1?n^?β?)Rqβ??∣t~?
稱這兩個(gè)解為L(zhǎng)ienard-Wiechert potentials。知道了勢(shì)之后可以寫出電磁場(chǎng)
E=??Φ?1c??tAB=?×A\textbf E = -\nabla \Phi-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \textbf A \\ \textbf B = \nabla \times \textbf AE=??Φ?c1??t??AB=?×A
一種比較常用的計(jì)算方法是將勢(shì)重新寫為關(guān)于時(shí)間的積分形式
Φ(x,t)=q∫δ(t′?t+R(t′)c)R(t′)dt′A(x,t)=q∫β?(t′)δ(t′?t+R(t′)c)R(t′)dt′\Phi(\textbf x,t) = q\int \frac{\delta(t'-t+\frac{R(t')}{c})}{R(t')}dt' \\ \textbf A(\textbf x,t) = q\int \frac{\vec \beta(t')\delta(t'-t+\frac{R(t')}{c})}{R(t')}dt'Φ(x,t)=q∫R(t′)δ(t′?t+cR(t′)?)?dt′A(x,t)=q∫R(t′)β?(t′)δ(t′?t+cR(t′)?)?dt′
先引入一個(gè)關(guān)于Dirac函數(shù)的性質(zhì)，其實(shí)就是對(duì)前面換元法的抽象：
∫δ(f(x))dx=∫δ(f(x))dfdf/dx=1dfdx∣x=0\int \delta(f(x))dx = \int \delta(f(x)) \frac{df}{df/dx} = \frac{1}{\frac{df}{dx}|_{x=0}}∫δ(f(x))dx=∫δ(f(x))df/dxdf?=dxdf?∣x=0?1?
如果
f(t′)=t′?t+R(t′)cf′(t′)≈1?2(x?r′)?r′˙2Rc=1?n^?β?f(t')=t'-t+\frac{R(t')}{c} \\ f'(t')\approx 1-\frac{2(\textbf x- \textbf r')\cdot \dot{\textbf r'}}{2Rc} = 1-\hat n \cdot \vec \betaf(t′)=t′?t+cR(t′)?f′(t′)≈1?2Rc2(x?r′)?r′˙?=1?n^?β?
這是對(duì)前文變量替換時(shí)多出來的contraction effect的解釋。在這個(gè)積分形式下計(jì)算導(dǎo)數(shù)并帶入電磁場(chǎng)的表達(dá)式（計(jì)算過程有點(diǎn)長(zhǎng)，就省略了，有需要的話可以翻一下Jackson的書）
E=?q∫?(δ(t′?t+Rc)R)dt′?qcddt∫β?δ(t′?t+Rc)Rdt′=qn^(1?n^?β?)R2∣t~+qcddtn^?β?(1?n^?β?)R∣t~=q((n^?β?)(1?β?2)(1?n^?β?)R2+n^×[n^?β?]×β?˙c(1?n^?β?)3R)t~\textbf E = -q \int \nabla \left( \frac{\delta(t'-t+\frac{R}{c})}{R} \right)dt' - \frac{q}{c} \fracozvdkddzhkzd{dt} \int \frac{\vec \beta \delta(t'-t+\frac{R}{c})}{R}dt' \\ = q \frac{\hat n}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R^2}|_{\tilde t}+\frac{q}{c} \fracozvdkddzhkzd{dt} \frac{\hat n - \vec \beta}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R}|_{\tilde t} \\ = q \left( \frac{(\hat n-\vec \beta)(1-\vec \beta^2)}{(1-\hat n \cdot \vec \beta)R^2}+\frac{\hat n \times [\hat n - \vec \beta] \times \dot{\vec \beta}}{c(1-\hat n \cdot \vec \beta)^3R}\right)_{\tilde t}E=?q∫?(Rδ(t′?t+cR?)?)dt′?cq?dtd?∫Rβ?δ(t′?t+cR?)?dt′=q(1?n^?β?)R2n^?∣t~?+cq?dtd?(1?n^?β?)Rn^?β??∣t~?=q((1?n^?β?)R2(n^?β?)(1?β?2)?+c(1?n^?β?)3Rn^×[n^?β?]×β?˙??)t~?
第一項(xiàng)被稱為velocity term或者Coulomb term，它只與速度有關(guān)且形式與庫(kù)侖field的形式一致，并且當(dāng)β?→0\vec \beta \to 0β?→0，也就是點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)速度相比光速可以忽略時(shí)，這一項(xiàng)退化為庫(kù)侖field；如果點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)沒有加速度，那么第二項(xiàng)為0；如果點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)存在加速度，第二項(xiàng)不為0，稱其為radiation field
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射7 运动点电荷的辐射的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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