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UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射6 波导

發布時間：2025/4/14 编程问答 18 豆豆

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UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射6 波導

波導(wave guide)是用來定向引導電磁波的結構，它為我們研究邊界條件對電磁波傳播的影響提供了一個簡單的模型。假設電磁波的形式為
$E=Ewe?iwt,B=Bwe?iwt\textbf E = \textbf E_w e^{-iwt},\textbf B = \textbf B_w e^{-iwt}$

真空中的它適用的Maxwell方程為
$?×Ew=iwcBw??Ew=0?×Bw=iμ?wcEw??Bw=0\nabla \times \textbf E_w = \frac{iw}{c} \textbf B_w \\ \nabla \cdot \textbf E_w = 0 \\ \nabla \times \textbf B_w = i \mu \epsilon \frac{w}{c}\textbf E_w \\ \nabla \cdot \textbf B_w = 0$

上面的方程可以改寫為Helmholtz方程：
$(?2+w2c2)E=0(?2+w2c2)B=0(\nabla^2+\frac{w^2}{c^2}) \textbf E = 0 \\ (\nabla^2 + \frac{w^2}{c^2}) \textbf B = 0$

假設介質是一個截面形狀任意的柱狀體，則電場可以表示為
$Ew=Ewt(x,y)eikgz\textbf E_w = \textbf E_{wt}(x,y)e^{ik_gz}$

第一項限制電磁波在截面內的形狀；第二項表示電磁波在 $z$ 軸方向的傳播；假設磁場也可以類似表示；則Helmholtz方程可以寫成：
$(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Ewt(x,y)=0(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Ewt(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) \textbf E_{wt}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) \textbf E_{wt}(x,y)=0$

我們可以先不急著解這個二階的PDE，先回顧一下一階的方程：
$?×Ew=iwcBw\nabla \times \textbf E_w = \frac{iw}{c} \textbf B_w$

$x$ 方向的分量為
$??yEwtz?ikgEwty=iwcBwtx\frac{\partial}{\partial y}E_{wtz}-ik_gE_{wty} = i\frac{w}{c}B_{wtx}$

再考慮Ampere定律 $?×Bw=?iwcEw\nabla \times \textbf B_w = -\frac{iw}{c}\textbf E_w$

$y$ 方向的分量為
$???xBwtz+ikgBwtx=?iwcEwty-\frac{\partial}{\partial x}B_{wtz}+ik_gB_{wtx} =- i\frac{w}{c}E_{wty}$

聯合上面兩個分量形式的方程，消去 $E_{wty}$ ，
$Bwtx=?i(wc)2?kg2(wc?Ewtz?y?kg?Bwtz?x)B_{wtx} = -\frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial E_{wtz}}{\partial y}-k_g \frac{\partial B_{wtz}}{\partial x} \right)$

同理可以得到另外的分量：

$Bwty=i(wc)2?kg2(wc?Ewtz?x+kg?Bwtz?y)Ewtx=i(wc)2?kg2(wc?Bwtz?y+kg?Ewtz?x)Ewty=?i(wc)2?kg2(wc?Bwtz?x?kg?Ewtz?y)B_{wty} = \frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial E_{wtz}}{\partial x}+k_g \frac{\partial B_{wtz}}{\partial y} \right) \\ E_{wtx} = \frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial B_{wtz}}{\partial y}+k_g \frac{\partial E_{wtz}}{\partial x} \right) \\ E_{wty} = -\frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial B_{wtz}}{\partial x}-k_g \frac{\partial E_{wtz}}{\partial y} \right)$

由此可見，只要我們能解出 $z$ 方向的分量，我們就可以得到電磁波的方程了。在實踐中有三種特殊情況：

transverse electric (

E_{wtz}=0

) 橫電波或TE模

transverse magnetic (

B_{wtz}=0

) 橫磁波或TM模

transverse electromagnetic 橫電磁波或TEM模

這三種是電磁波在傳輸線中常見的三種模式。但即使在一般情況中，我們也只需要求解
$(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Ewtz(x,y)=0(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Bwtz(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) B_{wtz}(x,y)=0$

例矩形傳輸線
假設導線截面為 ${(x,y,z):0≤x≤a,0≤y≤b}\{(x,y,z):0 \le x \le a,0 \le y \le b\}$ ，則導線邊界上的電場為0，電場與磁場的一般形式為
$Ew=Ewt(x,y)eikgz,Bw=Bwt(x,y)eikgz\textbf E_{w} = \textbf E_{wt}(x,y)e^{ik_gz},\textbf B_{w} = \textbf B_{wt}(x,y)e^{ik_gz}$

且只需求解
$(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Ewtz(x,y)=0(?2?x2+?2?y2+w2c2?kg2)Bwtz(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) B_{wtz}(x,y)=0$

如果是TM模，則第二個方程中 $B_{wtz}=0$ ，第一個方程的一般解為
$Ewtz=E0sin?(kxx)sin?(kyy),kx=mπa,ky=nπb,m,n∈Nkg2+kx2+ky2=w2c2?kg2=w2c2?π2(m2a2+n2b2)E_{wtz} = E_0 \sin(k_x x)\sin(k_yy),k_x= \frac{m \pi}{a},k_y = \frac{n \pi },m,n \in \mathbb{N} \\ k_g^2+k_x^2+k_y^2 = \frac{w^2}{c^2}\Rightarrow k_g^2 = \frac{w^2}{c^2}-\pi^2(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})$

通過調整導線的尺寸 $a, b$ ，我們可以通過控制 $k_g$ 來改變電磁波沿 $z$ 方向傳播的形式(with attenuation or without attenuation etc.)。

總結

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