UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射4 反射與折射

假設平面$z=0$是兩種不導電介質的交界面，$z<0$的空間中介質的介電常數與磁導率為${?}_1,{\mu }_1$，$z>0$的空間中介質的介電常數與磁導率為${?}_2,{\mu }_2$，假設$x<0,z<0$的空間中有一個入射波(incoming wave)，它在$(0,0,0)$處發生折射與反射，入射波的wave vector為${\text{k}}_i$，反射波的wave vector為${\text{k}}_r$，折射波的wave vector是${\text{k}}_t$，入射角為${\theta }_i$，反射角為${\theta }_r$，折射角為${\theta }_t$。

回顧一下circular polarization，之后會用到
$$\text{E}(\text{x},t)=E_0({\widehat{?}}_1+i{\widehat{?}}_2)e^{i(\text{k}?\text{x}?wt)}$$

記$\theta =\text{k}?\text{x}?wt$，則這個場可以拆分為${\text{E}}_1$與${\text{E}}_2$兩個成分：
$$Re[{\text{E}}_1]=E_0\cos \theta ,Re[{\text{E}}_2]=?E_0\sin \theta$$

另外，
$$\text{B}=\sqrt{\mu ?}\hat{k}\times \text{E}$$

所以確定了電磁波中的電場之后，磁場也就一并確定了。

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首先，我們確定反射波與折射波的wave vector，
$$\begin{gathered} |{\text{k}}_i|=|{\text{k}}_r|=\sqrt{{\mu }_1{?}_1}\frac{w}{c} \\ |{\text{k}}_t|=\sqrt{{\mu }_2{?}_2}\frac{w}{c} \end{gathered}$$

另外，因為在界面上沒有額外的source激發出新的電磁場，所以電磁波在經過界面時是連續變化的，也就是
$${\text{k}}_i?\text{x}{|}_{z=0}={\text{k}}_r?\text{x}{|}_{z=0}={\text{k}}_t?\text{x}{|}_{z=0}$$

考慮第一個等號，
$$\begin{gathered} {\text{k}}_i?\text{x}{|}_{z=0}=k_{ix}x \\ {\text{k}}_r?\text{x}{|}_{z=0}=k_{rx}x+k_{ry}y,?y\in \mathbb{R} \end{gathered}$$

二者相等除非$k_{ry}=0$，同理$k_{ty}=0$，于是${\text{k}}_i$與${\text{k}}_r,{\text{k}}_t$共面，即入射波、反射波、折射波的wave vector共面。另外，我們還可以看出
$$\begin{gathered} k_{ix}=k_{rx} \\ |{\text{k}}_i|\sin {\theta }_i=|{\text{k}}_r|\sin {\theta }_r \\ {\theta }_i={\theta }_r \end{gathered}$$

也就是入射角等于折射角；同時
$$\begin{gathered} k_{ix}=k_{tx} \\ |{\text{k}}_i|\sin {\theta }_i=|{\text{k}}_t|\sin {\theta }_t \\ \frac{\sin {\theta }_i}{\sin {\theta }_t}=\sqrt{\frac{{\mu }_2{?}_2}{{\mu }_1{?}_1}} \end{gathered}$$

這就是我們在大學物理中學過幾何光學中關于折射的Snell定律。

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以上還只用到了wave vector的幾何關系與連續性，下面我們也討論一下場的性質。記入射波、反射波與折射波的電場為
$${\text{E}}_i=\text{A}{e}^{i({\text{k}}_i?\text{x}?wt)},{\text{E}}_r=\text{R}{e}^{i({\text{k}}_r?\text{x}?wt)},{\text{E}}_t=\text{T}{e}^{i({\text{k}}_t?\text{x}?wt)}$$

取${\widehat{?}}_2=\hat{y}$，然后根據$\hat{k}$與${\widehat{?}}_2$用右手法則確定${\widehat{?}}_1$，因為對于入射波、反射波與折射波而言，${\widehat{?}}_2$是相同的，因此界面處的分量滿足連續性：
$$A_2+R_2=T_2$$

根據磁場、電場與wave vector的關系：
$$\begin{gathered} B_{i1x}=?\sqrt{{\mu }_1{?}_1}\cos {\theta }_i{A}_2 \\ {B}_{r1x}=\sqrt{{\mu }_1{?}_1}\cos {\theta }_r{R}_2 \\ {B}_{t1x}=?\sqrt{{\mu }_2{?}_2}\cos {\theta }_t{T}_2 \end{gathered}$$

并且在界面處同樣滿足連續性
$$B_{i1x}+B_{r1x}=B_{t1x}$$

綜合以上方程：
$$\begin{gathered} 1+\frac{R_2}{A_2}=\frac{T_2}{A_2} \\ \frac{R_2}{A_2}?1=?\sqrt{\frac{{\mu }_2{?}_1}{{\mu }_1{?}_1}}\frac{T_2}{A_2}\frac{\cos {\theta }_t}{\cos {\theta }_i} \end{gathered}$$

于是
$$\frac{T_2}{A_2}=\frac{2\cos {\theta }_i\sin {\theta }_t}{\sin ({\theta }_i+{\theta }_t)},\frac{R_2}{A_2}=?\frac{\sin ({\theta }_i?{\theta }_t)}{\sin ({\theta }_i+{\theta }_t)}$$

接下來考慮${\widehat{?}}_1$方向的連續性：
$$\begin{gathered} \cos {\theta }_i(A_1?R_1)=\cos {\theta }_t{T}_1 \\ \sqrt{{\mu }_1{?}_1}(A_1+R_1)=\sqrt{{\mu }_2{?}_2}{T}_1 \end{gathered}$$

求解這兩個方程：
$$\frac{T_1}{A_1}=\frac{2\cos {\theta }_i\sin {\theta }_t}{\sin ({\theta }_i+{\theta }_t)\cos ({\theta }_i?{\theta }_t)},\frac{R_1}{A_1}=\frac{\tan ({\theta }_i?{\theta }_t)}{\tan ({\theta }_i+{\theta }_t)}$$

假設入射波是circular polarization，則$A_1=A_2$，于是
$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\sin ({\theta }_i+{\theta }_t)}{\sin ({\theta }_i+{\theta }_t)\cos ({\theta }_i?{\theta }_t)}$$

也就是說如果${\mu }_1{?}_1<{\mu }_2{?}_2$，折射波將不再是circular polarization而是elliptical polarization了。我們可以嘗試解釋一下這個現象：因為這兩種介質不導電，所以電磁波經過這兩種介質時不會激發電流，只會讓介質中的電荷極化。這種性質保證不導電介質中的電磁波是橫波，入射波的${\widehat{?}}_1$與${\text{k}}_r$不垂直，所以$A_1$中只有部分進入$R_1$，剩下的會進入$T_1$，而${\widehat{?}}_2$對入射波、反射波與折射波是相同的，所以$T_1$會比$T_2$更大，類似的${\mu }_1{?}_1>{\mu }_2{?}_2$也可以討論。

總結

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