物理光學 計算倏逝波/漸逝波在界面上存在的范圍

光從光密介質$n_1$傳播到光疏介質$n_2$中時，如果入射角${\theta }_i$大于臨界角
$${\theta }_C=\arcsin (n_1/n_2),n_1>n_2$$就會發生全反射，折射光將不存在；但此時反射光會發生phase-shift，因此在光密介質中，入射光與反射光產生干涉，并在界面附近形成駐波，部分能量會滲入光疏介質中，并在界面上以電磁波的形式傳播一小段距離，這就是倏逝波（evanescent wave，也叫漸逝波、消逝波、隱失波等）。

假設入射角超過臨界角時，折射光的電場為
$$E_t=E_{0t}{e}^{i(k_t?r?wt)}$$

根據上圖所示
$$\begin{gathered} k_t?r=k_{t}x\cos {\theta }_t+k_{t}z\sin {\theta }_t \\ =\pm i{k}_i\sqrt{{\sin }^2{\theta }_i?{\sin }^2{\theta }_C}x+k_{i}z\sin {\theta }_i \end{gathered}$$

記$\kappa =k_i\sqrt{{\sin }^2{\theta }_i?{\sin }^2{\theta }_C}$，則
$$E_t=\underset{倏逝波光強按指數衰減}{E_{0t}{e}^{\kappa x}}\underset{倏逝波在法線方向的振動模式}{e^{i(k_{i}z\sin {\theta }_i?wt)}}$$

比如$\kappa x=?1$，則倏逝波在界面上傳播$\frac{1}{\kappa }$的距離后，光強大概降低為$e^{?2}\approx 10\%$，假設${\theta }_i=\pi /4$，$n_1=1.5,n_2=1$，${\lambda }_i=550nm$（綠光），則$1/\kappa \approx 250nm$，也就是倏逝波在界面上傳播僅250納米后，光強就降低為10%了。

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總結

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