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物理光学5 色散、吸收与散射

發布時間：2025/4/14 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了物理光学5 色散、吸收与散射小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

物理光學5 色散、吸收與散射

- Lorentz Classical Electron Gas Model
- Helmholtz方程與廣義歐姆定律
- 介質對光的吸收與透明材料
- 金屬的光學性質

光，特別是可見光，作為一種特殊的電磁波，它的傳播除了滿足電磁波傳播的規律外，還有一些特有的現象，這一講介紹光的色散(dispersion)、吸收(absorption)與散射(scattering)，色散是初中物理就介紹過的現象，當白光通過三棱鏡時可以分解出不同顏色的光，這是因為不同頻率的光在三棱鏡中的折射率不同；吸收指的是光通過介質進行傳播的時候，所攜帶的能量被介質吸收從而導致光強衰減的現象；散射這種現象也比較好理解，雖然我們畫光路圖的時候把光畫成直線，但這并不代表只有在直線上才能觀察到光，這就是光的散射造成的。這三種現象本質上都是光與介質材料的交互作用，下面介紹分析這些交互作用的物理模型。

Lorentz Classical Electron Gas Model

Lorentz認為原子(atom)可以看成是由位于中心的原子核(nucleus)與圍繞原子核的電子云(electron gas)組成的，當光作用在原子上時，電子云受到電磁場的作用會發生變形(distorted)；他覺得這個時候電子云的運動就應該像彈簧一樣，在光的作用下會偏離原子核，但隨著電磁場的波動被原子核拉回，在單一方向上，電子的運動可以用振動方程給出：
$mex¨=?kex?meγx˙+eE0e?iwtm_e \ddot{x} = -k_e x-m_e \gamma \dot{x}+eE_0e^{-iwt}$

其中 $m_e$ 是電子的質量，其中 $k_ex$ 類比彈簧的恢復力，在電子云中是電子做圓周運動的向心力 $m_ew_e^2x$ ， $w_e$ 被稱為電子云的自有頻率；上式中第二個減項是damping，可以理解為與速度成正比的摩擦力；第三項被稱為light wave（ $x$ 方向上的分量）；這個振動方程的通解為
$x = x_0e^{-iwt}$

代入到原方程中可以求出 $x_0$ ；在 $(x, y, z)$ 三個方向上，我們都可以列出以上的振動方程并根據通解得到振動的位移表達式，記這個位移為 $r?\vec r$ ，
$r?=eE?/mew02?w2?iwγ\vec r = \frac{e \vec E/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}$

由此可以計算電子的dipole moment：
$p?=er?\vec p = e \vec r$

如果電子云中有 $N$ 個電子，那么這團電子云的polarization為
$P?=Np?=Ner?=Ne2E?me(w02?w2?iγw)=χe?0E?\vec P = N\vec p = Ne \vec r = \frac{Ne^2 \vec E}{m_e(w_0^2-w^2-i\gamma w)}=\chi_e \epsilon_0 \vec E$

其中 $E?\vec E$ 是光的電場強度， $n=1+χen=\sqrt{1+\chi_e}$ 是折射率(一般而言是一個復數)
$n_r+in_i \\ n^2 = 1+\chi_e = 1+ \frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2-i\gamma w)}$

由此可以求出折射率的實部與虛部，并確定折射率的表達式：
$\sqrt{1+ \frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2-i\gamma w)}}$

其中 $N,w0,γN,w_0,\gamma$ 與介質本身的性質有關，而折射率則是入射光的角頻率 $w$ 的函數，這就是散射發生的理論基礎：介質對不同頻率的入射光具有不同的折射率。

Helmholtz方程與廣義歐姆定律

現在我們寫出電磁波在介質中傳播的麥克斯韋方程，同樣假設沒有source，那么
$??E?=0??B?=0?×E?+1c?B??t=0?×B??μ?c?E??t=4πμcJ?\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \times \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J$

使用常規技巧，取后兩個方程的旋度化簡可得：
$??2E?+μ?c2?2E??t2=???t4πμcJ???2B?+μ?c2?2B??t2=4πμc?×J?-\nabla^2 \vec E + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial t} \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J \\ -\nabla^2 \vec B + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}= \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J$

這兩個方程是非齊次的四維時空中的波動方程，等式右邊的非齊次項用來model介電常數的頻率相關性，我們可以直接寫出它們特解的形式：
$E?=E?weiwt,B?=B?weiwt\vec E = \vec E_w e^{iwt},\vec B = \vec B_w e^{iwt}$

假設 $J?=J?weiwt\vec J = \vec J_w e^{iwt}$ ，代入原方程后可以得到Helmholtz方程：
$[?2+k2(w)]E?w=?4πicμ?k(w)J?w[?2+k2(w)]B?w=?4πμc?×J?w[\nabla^2 + k^2(w)] \vec E_{w}=-\frac{4 \pi i}{c}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}k(w) \vec J_w \\ [\nabla^2 + k^2(w)] \vec B_{w} =- \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J_w$

其中
$\frac{n(w)w}{c}, n(w)=\sqrt{\mu \epsilon}$

因為 $E?\vec E$ 與 $B?\vec B$ 在電磁場中的地位是對稱的，所以我們希望上面的兩個Helmholtz方程形式再接近一點，為此引入generalized Ohm‘s law：
$J?w=ΓE?w,Γ=ΓRe+iΓIm\vec J_w = \Gamma \vec E_w, \Gamma = \Gamma_{Re}+i \Gamma_{Im}$

將Helmholtz方程合并為
$[?2+k2(w)+i4πn(w)Γc?][E?wB?w]=0[\nabla^2+k^2(w)+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}] \left[ \begin{matrix} \vec E_w \\ \vec B_w \end{matrix} \right]=0$

這就與我們上一章用過的Helmholtz方程不一樣了，所以我們重新定義一下wave number：
$k'(w)]^2=[k(w)]^2+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}$

于是
$E?w=E?0eik′(w)?r?=E?0eikr′(w)?r??propagation?e?ki′(w)?r??attenuation\vec E_w = \vec E_0 e^{ik'(w) \cdot \vec r} \\ = \vec E_0 \underbrace{e^{ik'_r(w)\cdot \vec r}}_{propagation} \cdot \underbrace{e^{-k'_i(w) \cdot \vec r}}_{attenuation}$

考慮幾種特例： $Γ=?iNwe2me(w02?w2?iwγ)\Gamma = \frac{-iNwe^2}{m_e(w_0^2-w^2-iw\gamma)}$

介質是導體（存在自由電荷，也存在固定的電荷）：導體中

w0=0,w<<γw_0=0,w<<\gamma

，所以

Γ≈e2Nmeγ\Gamma \approx \frac{e^2N}{m_e\gamma}

我們非常熟悉的歐姆定律就是這個公式。

Γ\Gamma

是實數，則wave number是復數，這時propagation項不存在，也就是說除非介質非常非常薄，不然電磁波幾乎無法通過介質（比較直觀的一個例子是金屬不透光）

介質是dielectric（不存在自由電荷，但固定電荷可極化）：

Γ\Gamma

是虛數，則wave number是實數，這時attenuation項不復存在，電磁波可以沒有衰減地通過介質

介質是plasma（全是自由電荷）：plasma不存在restoring force與friction，

w0=γ=0w_0=\gamma=0

，

(k′)2=k2(1?4πNe2mew2?)(k')^2=k^2(1-\frac{4 \pi Ne^2}{m_e w^2 \epsilon})

定義plasma frequency

wp2=4πNe2me?w_p^2 = \frac{4 \pi Ne^2}{m_e \epsilon}

如果

w>w_p

，則

k^{'}

是實數；如果

w<w_p

，則

k^{'}

是虛數

介質對光的吸收與透明材料

根據上面的推導，折射率的虛部影響介質對光的吸收。下面考慮一種特例： $∣χe∣<<1|\chi_e|<<1$

$\sqrt{1+\chi_e} \approx 1+ \frac{1}{2}\chi_e \\ n_r = 1+\frac{1}{2}\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0} \frac{w_0^2-w^2}{(w_0^2-w^2)^2+(\gamma w)^2} \\ n_i = \frac{1}{2}\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0} \frac{\gamma w}{(w_0^2-w^2)^2+(\gamma w)^2}$

上圖是透明材料折射率實部與虛部與入射光角頻率的關系。結合等式與上圖可以得到下面的結論：

w=w_0

（共振）：

nr=1ni=12Ne2me?01γw0=niMn_r=1 \\ n_i=\frac{1}{2}\frac{Ne^2 }{m_e\epsilon_0} \frac{1}{\gamma w_0}=n_{iM}

當入射光角頻率接近于材料的自有頻率時，折射率的實部關于角頻率是遞減的（或者說關于入射光的波長是遞增的），這回導致與我們熟悉的波長越大，折射率越小的色散是相反的，稱這種色散為反常色散(anomalous dispersion)；與反常色散對應的是正常色散，它發生在

w<w0?γ/2w<w_0-\gamma/2

與

w>w0+γ/2w>w_0+\gamma/2

的范圍內；對真實材料而言，自有頻率通常不止一個，因此需要考慮不同頻率的效應的疊加，并且不同材料適用的頻率/波長也就不同（比如BK-7適用波長是380nm-2100nm；crystal quartz適用波長是150nm-2500nm；光學薄膜氟化鎂適用波長是150nm-6000nm）

w>>w_0

或

w<<w_0

：

nr→1ni→0n_r \to 1 \\ n_i \to 0

因為折射率是復數，因此波向量也是復數，

kc=wcn=wcnr+iwcni=k+iwcnik_c=\frac{w}{c}n=\frac{w}{c}n_r+i\frac{w}{c}n_i=k+i\frac{w}{c}n_i

考慮電磁場的單向（比如在

z

方向）振動：

E?=E?0ei(kcz?wt)=E?0ei(kz?wt)e?wcniz\vec E = \vec E_0e^{i(k_cz-wt)}=\vec E_0e^{i(kz-wt)}e^{-\frac{w}{c}n_iz}

這就是上文介紹的電磁波在介質中傳播的波動與衰減的規律。另外，根據

E?\vec E

的大小，我們可以確定光在復折射率透明材料中的光強衰減滿足：

I_0e^{-\alpha z},\alpha=\frac{2w}{c}n_i

這個規律被稱為Lambert law，其中

α\alpha

被稱為材料對光的吸收系數。因為吸收系數與虛部成正比，要選取對某種“光”的“透明材料”，需要選擇自有頻率與這種“光”差別明顯的材料；比如玻璃的自有頻率與紫外線相近，因此對所有可見光，玻璃都是一種透明材料；對固體與液體介質，因為原子之間的距離非常接近，所以還需要考慮相鄰原子之間的影響，此時折射率與吸收系數滿足：

n2?1n2+1=13Nα?\frac{n^2-1}{n^2+1}=\frac{1}{3}\frac{N\alpha}{\epsilon}

對于damping非常小的材料(也就是

γ≈0\gamma \approx 0

)或者對正常色散，

ni≈0nr≈1+12Ne2me?01w02?w2=(1+A)+Bλ2n_i \approx 0 \\ n_r \approx 1+\frac{1}{2}\frac{Ne^2}{m_e \epsilon_0}\frac{1}{w_0^2-w^2} = (1+A)+\frac{B}{\lambda^2}

第二個等號后

A, B

是與材料有關的系數，

λ\lambda

是入射光的波長；把折射率寫成波長的函數之后就可以很明顯地法線波長越小，折射率越大，也正好就是正常色散的特點；另外，在正常色散時，折射率與波長還有一個很著名的Cauchy dispersion formula（這是一個實驗公式）：

n=C1+C2λ2+C3λ4n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C^3}{\lambda^4}

其中

C_1,C_2,C_3

是常數，購買光學材料時通常會給這幾個參數；

金屬的光學性質

前面第二節介紹了金屬作為電磁波的介質的特點，這里我們再簡單分析一下金屬的光學性質。同樣引入廣義歐姆定律，
$J?=σE?\vec J = \sigma \vec E$

則麥克斯韋方程中電場的旋度應該修正為
$?×E?=??E??t+σE?\nabla \times \vec E=\epsilon \frac{\partial \vec E}{\partial t}+\sigma \vec E$

它滿足的波動方程為
$?2E?=μ0??2E??t2+μ0σ?E??t\nabla^2 \vec E = \mu_0 \epsilon \frac{\partial ^2 \vec E}{\partial t^2}+\mu_0 \sigma \frac{\partial \vec E}{\partial t}$

同樣帶入通解 $E?=E?0ei(kz?wt)\vec E = \vec E_0e^{i(kz-wt)}$ （在 $z$ 方向的通解形式），可以確定解的具體形式。省略推導（得到 $E?\vec E$ 的表達式，然后計算確定光強的表達式，得到吸收系數）過程，定義penetration depth (或者叫skin depth，是光能透過金屬的深度)為
$Zd=1α=c2wni=λ2πniZ_d = \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{2wn_i}=\frac{\lambda}{2 \pi n_i}$

其中 $n_i$ 有金屬本身的性質決定，比如

金屬

n_i

Al	6. 8
Ag	3.4

對于金屬（或者導體）而言，材料中的電子由原子內的固定電子+游離的自由電子構成，數量上后者占優，并且根據Gauss定理，自由電子傾向于分布在導體表面，因此當光照到導體上時，就會在金屬的表面與自由電子交互作用，而很難滲入到導體內部。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的物理光学5 色散、吸收与散射的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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