物理光學(xué)6 干涉

• • 干涉的簡(jiǎn)單模型
  • 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)

干涉的簡(jiǎn)單模型

干涉(interference)是兩個(gè)或以上的波在空間中疊加形成新的波形的現(xiàn)象。我們先用最簡(jiǎn)單的兩個(gè)光源的情況，嘗試給光的干涉建立一個(gè)簡(jiǎn)單模型。假設(shè)$S_1,S_2$是兩個(gè)光源（位移為$r_1,r_2$），它們發(fā)出的光滿足：
$$\begin{gathered} E_1(r,t)=E_{01}{e}^{i(k_1?r?w_{1}t+{?}_1)} \\ {E}_2(r,t)=E_{02}{e}^{i(k_2?r?w_{2}t+{?}_2)} \end{gathered}$$

其中${?}_1,{?}_2$是這兩個(gè)光源的初始相位。考慮空間中位移為$r$的點(diǎn)$P$，在$t$時(shí)刻，$P$點(diǎn)處光的電場(chǎng)滿足
$$E(r,t)=E_1(r?r_1,t)+E_2(r?r_2,t)$$

記$R_1=r?r_1,R_2=r?r_2$，

通常可以忽略常數(shù)，定義光強(qiáng)為
$$I=?|E{|}^2{?}_T$$

在物理學(xué)中，$??{?}_T$表示一個(gè)物理量在$T$時(shí)間內(nèi)的平均值，于是
$$\begin{gathered} I=?E?E^{?}{?}_T=|E_{01}{|}^2+|E_{02}{|}^2+2E_{01}?E_{02}?\cos ({\delta }_2?{\delta }_1){?}_T \\ ?\cos ({\delta }_2?{\delta }_1){?}_T=\frac{1}{T}{\int }_0^T\cos ({\delta }_2?{\delta }_1)dt \end{gathered}$$

其中$|E_{01}{|}^2=I_1,|E_{02}{|}^2=I_2$分別表示第一列光與第二列光的光強(qiáng)，$E_{01}?E_{02}?\cos ({\delta }_2?{\delta }_1){?}_T$是干涉項(xiàng)，代表兩列光疊加的效應(yīng)，在干涉項(xiàng)中，${\delta }_1,{\delta }_2$是這兩列光的相位，
$$\begin{gathered} {\delta }_1=k_1?R_1?w_{1}t+{?}_1 \\ {\delta }_2=k_2?R_2?w_{2}t+{?}_2 \end{gathered}$$如果干涉項(xiàng)為0，那么這兩列疊加后的光強(qiáng)就等于它們各自的光強(qiáng)之和；要使干涉項(xiàng)不為零，需要下面的條件

$E_{01}?E_{02}=0$，$E_{01}$與$E_{02}$不垂直：在空氣中，如果兩列光都是S-wave，這個(gè)條件自然滿足；如果兩列光都是P-wave，只要$r_1$與$r_2$不垂直，這個(gè)條件也是滿足的；如果一列光是S-wave，另一列光是P-wave，這個(gè)條件永不成立；

$?\cos ({\delta }_2?{\delta }_1){?}_T=0$，其中$$\begin{gathered} {\delta }_2?{\delta }_1=(k_2?R_2?w_{2}t+{?}_2)?(k_1?R_1?w_{1}t+{?}_1) \\ =(k_2?R_2?k_1?R_1)?(w_2?w_1)t+({?}_2?{?}_1) \end{gathered}$$因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$T$是任意的，而余弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的積分為0，所以為了讓$?\cos ({\delta }_2?{\delta }_1){?}_T=0$恒成立，我們希望$\cos ({\delta }_2?{\delta }_1)$關(guān)于時(shí)間是一個(gè)常數(shù)，因此$w_1=w_2$，即產(chǎn)生干涉的兩列光一定具有相同的頻率，并且${?}_2?{?}_1=const$（這種光叫coherent light，同調(diào)光或者相干光）、$k_2?R_2?k_1?R_1=const$（$k_1?R_1,k_2?R_2$是這兩列光的光程，optical path，它們的差被稱為光程差，要使光程差為常數(shù)，需要特別穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)臺(tái)，這也是有高精度要求的光學(xué)實(shí)驗(yàn)室周圍不修建大型公路、鐵路交通設(shè)施的原因）。

在實(shí)踐中，使兩個(gè)不同光源發(fā)出的光成為相干光十分困難，所以通用的做法是把同一個(gè)光源發(fā)出來(lái)的光分成兩列，再觀察這兩列光的干涉。盡管做光的干涉實(shí)驗(yàn)比較麻煩，但它的物理意義十分重大，因?yàn)楦缮媸遣ǖ囊环N性質(zhì)，如果光也能產(chǎn)生干涉，就可以證明光的波動(dòng)性，而基于光的波動(dòng)性，可以設(shè)計(jì)很多有用的精密儀器。

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)

這個(gè)實(shí)驗(yàn)是觀察光的干涉的非常經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)，它試圖靠?jī)蓚€(gè)狹縫將同一個(gè)光源的光分成兩列相干光，因此在實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)時(shí)需要讓尺寸滿足coherent條件。

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$S_1$與$S_2$位于入射光的同一個(gè)波前，在$S_1$與$S_2$處的光相位相同，于是在$P$點(diǎn)處，兩列光的相位差等于光程差，
$${\delta }_2?{\delta }_1=k(r_2?r_1)=\frac{2\pi }{\lambda }(r_2?r_1)$$

代入兩列光干涉的光強(qiáng)公式，可以得到
$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \left(\frac{2\pi }{\lambda }\frac{dx}{L}\right)$$

于是干涉條紋中的亮條紋(bright fringe)分布為
$$\frac{2\pi }{\lambda }\frac{dx}{L}=2n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,?$$

暗條紋的分布為
$$\frac{2\pi }{\lambda }\frac{dx}{L}=(2n+1)\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,?$$

同時(shí)代Fresnel也做了類似的干涉實(shí)驗(yàn)，他分光的方法是利用平面鏡：

從上圖可以看出，Fresnel實(shí)驗(yàn)可以用楊氏雙縫干涉類似的分析方法進(jìn)行分析，這是因?yàn)樗鼈儗儆谕活惙止夥椒āㄇ胺?wavefront dividing)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的物理光学6 干涉的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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