物理光學10 相干光與相干性

• • 相干性的概念
  • • 相干程度
    • 干涉條紋清晰度
  • 空間相干性
  • • van Cittert-Zernike定理
  • 時間相干性

在第六講介紹干涉的基本原理時，我們提到了coherent light（同調光或者相干光）的概念，如果兩列光的初始相位差為0，就稱這兩列光是相干光，這是它們能干涉的必要條件。這一講我們深入討論相干光的性質。

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相干性的概念

考慮從光源$S_1,S_2$發出的兩列光：
$$\begin{gathered} E_1=E_{10}{e}^{i(k_1?r_1?wt+{?}_1)} \\ {E}_2=E_{20}{e}^{i(k_2?r_2?wt+{?}_2)} \end{gathered}$$

其中$P$是觀察者的位置，$r_1=S_{1}P,r_2=S_{2}P$，在$P$點處觀察到的光的強度為
$$I=?|E_1+E_2{|}^2{?}_T=\underset{I_1}{?|E_1{|}^2{?}_T}+\underset{I_2}{?|E_2{|}^2{?}_T}+\underset{interference}{2Re?E_1?E_2^{?}{?}_T}$$

注： $??{?}_T$表示某個物理量在一段時間內的平均值：
$$?f(t){?}_T=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$

記干涉項為
$${\Gamma }_{12}=2Re?E_1?E_2^{?}{?}_T$$如果干涉項非零，就稱這兩列光滿足mutual coherence（相干），在stationary system中，場隨時間的變化與起點無關，只與相對時間有關，如果$S_2$發出的光比$S_1$發出的光晚，則
$${\Gamma }_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T{E}_1(t)E_2(t+\tau )dt$$

在$L_2$空間中，上面的積分就是這兩列光的mutual correlation function，另外，也可以定義self correlation function，
$${\Gamma }_{11}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T{E}_1(t)E_1(t+\tau )dt$$

顯然
$${\Gamma }_{11}(0)=I_1,{\Gamma }_{22}(0)=I_2$$

相干程度

相干性只能保證兩列光可以發生干涉，但是想要觀察到明暗分明的干涉條紋，我們需要質量比較好的干涉，根據干涉項與光強的關系，定義degree of coherence（相干程度）來衡量干涉的質量：
$${\gamma }_{12}(\tau )=\frac{{\Gamma }_{12}(\tau )}{\sqrt{{\Gamma }_{11}(0){\Gamma }_{22}(0)}}$$

于是$P$點處的光強為
$$\begin{gathered} I(\tau )=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}Re[{\gamma }_{12}(\tau )] \\ =I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}|{\gamma }_{12}(\tau )|\cos ({?}_{12}) \end{gathered}$$

第二個等式把${\gamma }_{12}(\tau )$分解為幅度和幅角${\gamma }_{12}(\tau )=|{\gamma }_{12}(\tau )|e^{i{?}_{12}}$代入即可得到，其中幅角${?}_{12}$代表相位差，它由兩列光的光程差決定，與$P$的位置有關，決定明暗干涉條紋的分布；而幅度$|{\gamma }_{12}(\tau )|$則決定了兩列光干涉明暗條紋區別是否明顯，如果$|{\gamma }_{12}(\tau )|=1$，稱這兩列光complete coherence（完全同調或者完全相干），如果$|{\gamma }_{12}(\tau )|=0$，稱這兩列光complete incoherence（完全不相干），如果$|{\gamma }_{12}(\tau )|\in (0,1)$，稱這兩列光partial coherence（部分相干），自然界中的光幾乎都是部分相干的。

干涉條紋清晰度

定義干涉條紋的清晰度(fringe visibility)為
$$v=\frac{I_{max}?I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{2\sqrt{I_1{I}_2}}{I_1+I_2}|{\gamma }_{12}(\tau )|$$

$v$是0到1之間的一個數，$v$越大代表明暗條紋亮度差別越大，干涉條紋也就越明顯，這個量在實驗光學中有重要意義：

在干涉實驗中，$v$可以通過對明暗條紋的亮度測量得到，而$|{\gamma }_{12}(\tau )|$是更難計算的，但根據上述公式，通過$v$可以用干涉實驗間接測量$$|{\gamma }_{12}(\tau )|=\frac{v(I_1+I_2)}{2\sqrt{I_1{I}_2}}$$

當$I_1=I_2$時，$v$取最大值$|{\gamma }_{12}(\tau )|$，所以在干涉實驗中，要盡量讓兩列相干光強度相同

空間相干性

下面討論影響$|{\gamma }_{12}(\tau )|$與$S_1,S_2$相對位置的關系，專業術語叫做spatial coherence。在理論模型中$S_1,S_2$都是點光源，點光源是沒有大小的理想模型，但在光學建模中，我們需要考慮$S_1,S_2$的形狀與大小。下面我們用雙縫干涉的模型做一點修正：

假設$P$點離$z$軸的距離為$x$，光源上某一點離$z$軸的距離為$\xi$，我們可以把光源上的每一點都看成是一個點光源，那么根據楊氏雙縫干涉的公式，經過$Q_1,Q_2$（假設$|Q_1{Q}_2|=d$）分光后到達$P$點的兩列光光程差為（需要假設$L,r_S>>d$）
$$\delta \approx kd(\frac{x}{L}+\frac{\xi }{r_S})$$

這個點光源在$P$點處產生的光強為
$$dI(\xi )=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\delta )$$

于是這個光源在$P$點處產生的光強等于所有點光源的積分：$$\begin{gathered} I={\int }_{?\Delta S/2}^{+\Delta S/2}dI(\xi ) \\ =\Delta S\left[I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}sinc(\frac{d\Delta S}{\lambda r_S})\cos (\frac{kdx}{L})\right] \end{gathered}$$

其中$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$；除了因子$\Delta S$外，這個結果與楊氏雙縫干涉相比只是多了$sinc(\frac{d\Delta S}{\lambda r_S})$這一項。考慮一種簡單的情況，如果$I_1=I_2$，則
$$v=|sinc(\frac{d\Delta S}{\lambda r_S})|=|{\gamma }_{12}(\tau )|$$

這就可以衡量$Q_1,Q_2$分光后兩列光的spatial coherence。

比如如果要在地球上用太陽光做干涉實驗，那么光源設計參數為$\Delta S=1.4\times 10^{9}m$（太陽直徑），$r_S=1.5\times 10^{11}m$（日地距離），于是需要雙縫距離不超過$l_t=\lambda /{\theta }_S\approx 50\mu m$，當然這個例子只是粗略估計。

van Cittert-Zernike定理

van Cittert-Zernike定理給出了在已知光源設計參數時計算空間中任意兩點的spatial coherence的方法。假設光源光強分布為$I(\xi )$，$\xi$表示在光源的坐標系中光源的位置，設計參數為$\Delta S,r_S$，分光點為$Q_1,Q_2$，二者在分光坐標系中的位置為$x_1,x_2$，于是
$${\gamma }_{12}=\frac{{\int }_{\Delta S}I(\xi )e^{i\frac{2\pi }{\lambda r_S}(x_2?x_1)}d\xi }{{\int }_{\Delta S}I(\xi )d\xi }$$

其中分子就是光強分布從光源坐標系到分光坐標系的Fourier變換。

例 對于圓形的光源，$circular(\xi /(w/2))$，$w$為光源直徑，
$${\gamma }_{12}=(w/2{)}^2\frac{J_1(\pi w\rho )}{w\rho /2},\rho =\frac{r_0}{\lambda r_S}$$

于是
$$l_t\approx 1.22\frac{\lambda }{{\theta }_S}$$

時間相干性

考慮同一個光源發出的光，經過$S_1,S_2$兩條不同的光路到達$P$后可能存在時間差，假設光源是quasi-monochromatic，
$$E(t)=E_0{e}^{?iwt}\underset{initialphase}{e^{i{?}_0(t)}}$$

則
$$\begin{gathered} {\Gamma }_{12}(\tau )=?E(t)E^{?}(t+\tau ){?}_{\tau }=I_0{e}^{iw\tau }?e^{i[{?}_0(t)?{?}_0(t+\tau )]}{?}_{\tau } \\ {\gamma }_{12}(\tau )=\frac{?E(t)E^{?}(t+\tau )?}{?E^2?}=e^{iw\tau }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}^{i[{?}_0(t)?{?}_0(t+\tau )]}dt \end{gathered}$$

所以相干程度是取決于初始相位的分布的。把quasi-monochromatic light source看成一系列點光源的集合，每一個點光源的電子發生躍遷時（躍遷時間為${\tau }_0$）發光，初始相位受電子躍遷瞬間的自旋狀態等因素影響是一個隨機變量，因此對于quasi-monochromatic light source，在$\tau \le {\tau }_0$(保證單頻的條件)時發生干涉，
$${\gamma }_{12}(\tau )=e^{iw\tau }(1?\frac{\tau }{{\tau }_0})$$

稱${\tau }_0$為coherence time，稱$l_c=c{\tau }_0$為coherence length，這是保證temporal coherence的最大光程差。

接下來討論一下${\tau }_0$與光源的關系，做Fourier變換
$$\begin{gathered} E(\nu )={\int }_{?\infty }^{+\infty }E(t)e^{?2\pi i\nu t}dt \\ ={\int }_{?{\tau }_0/2}^{{\tau }_0/2}{E}_0{e}^{?i2\pi (\nu ?{\nu }_0)t}dt=E_0{\tau }_{0}sinc((\nu ?{\nu }_0){\tau }_0) \end{gathered}$$

其中$2\pi {\nu }_0=w$，Fourier變換的結果就是光源發光的頻譜，而功率譜是
$$G(\nu )=|E(\nu )|=E_0^2{\tau }_0^{2}sin{c}^2((\nu ?{\nu }_0){\tau }_0)$$

中心頻率為${\nu }_0$，頻寬或者稱為線寬(linewidth)為
$$\Delta \nu =\frac{1}{{\tau }_0}$$

因此
$$l_c=c{\tau }_0=\frac{c}{\Delta \nu }$$

也就是做temporal coherence時，coherence length取決于光源的頻寬，頻寬越小（也就是光源發出的光頻率越接近單頻），允許的光程差就能越大，實驗的容錯率也能更高。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的物理光学10 相干光与相干性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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