物理光學(xué)11 衍射的基本概念與惠更斯原理

• • Huygens-Fresnel原理
  • 菲涅耳衍射
  • 夫瑯禾費(fèi)衍射

衍射（Diffraction）是光“繞開(kāi)”障礙物傳播的現(xiàn)象，也叫繞射。幾何光學(xué)認(rèn)為光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，所以繞射有悖于幾何光學(xué)對(duì)光路的預(yù)測(cè)。但繞射的原理其實(shí)也很好理解，光既然是一種波，我們可以用聲波來(lái)類比它，波前上任一點(diǎn)都可以是一個(gè)源，產(chǎn)生出新的波形繼續(xù)向外傳播（其實(shí)就是惠更斯原理的思想），因此“繞開(kāi)”障礙物的光相當(dāng)于是波前上的點(diǎn)“衍生”出來(lái)的，這就是把這種現(xiàn)象叫做衍射的理由。另外，這里對(duì)于衍射的簡(jiǎn)單解釋前提是光是一種電磁波，所以衍射被歸在物理光學(xué)中。

Huygens-Fresnel原理

用$S$表示某個(gè)點(diǎn)光源，它的電場(chǎng)強(qiáng)度為$E_S$，它發(fā)出的光沿$z$方向傳播，距離$S$為$z_S$的位置有一個(gè)Aperture，距離Aperture為$z$的位置有一個(gè)觀察者$P$，根據(jù)電偶極子radiation的結(jié)論，對(duì)于Aperture上距離$S$為$r_S$的點(diǎn)$Q$，
$$E_Q=\frac{E_S}{r_S}{e}^{ik{r}_S}$$

根據(jù)惠更斯原理，點(diǎn)$Q$可以看成一個(gè)新的點(diǎn)光源，記$|PQ|=r$，則繼續(xù)使用radiation的結(jié)論，點(diǎn)$Q$傳播到$P$處時(shí)，電場(chǎng)為
$$\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}$$

假設(shè)Aperture的透光部分面積為$A$，則$P$點(diǎn)處的觀察者看到的光就是面積分
$$E_P={?}_A\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}dA=E_S{?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}dA$$

這就是根據(jù)光的波動(dòng)說(shuō)結(jié)合關(guān)于描述波的傳播的惠更斯原理得到的一個(gè)直觀結(jié)果（很難用于實(shí)際計(jì)算），在Fresnel等人的衍射實(shí)驗(yàn)證明了光的傳播確實(shí)可以存在繞射行為以后，這個(gè)結(jié)果才逐漸被人接受。

菲涅耳衍射

假設(shè)$A$的尺度遠(yuǎn)大于光的波長(zhǎng)，并且觀察距離$z$遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，比如照相機(jī)的孔相比于光的波長(zhǎng)就是超級(jí)大的，照相機(jī)與攝影對(duì)象的物理之間的距離與波長(zhǎng)相比也是超級(jí)大的，則用Maxwell方程也可以導(dǎo)出$P$處的電場(chǎng)
$$E_p\propto \frac{i}{\lambda }{?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (?\hat{z},\hat{r})?\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA$$

可以發(fā)現(xiàn)惠更斯原理與Maxwell方程得到的結(jié)果基本匹配，因?yàn)樵趐araxial approximation下，
$$\cos (?\hat{z},\hat{r})\approx 1,\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)\approx =?1$$

Fresnel認(rèn)為觀察距離$z$也是遠(yuǎn)大于$A$的尺度的，所以
$$\frac{e^{ik{r}_S}}{r_S}\approx \frac{e^{ik{r}_S}}{z_S},\frac{e^{ikr}}{r}\approx \frac{e^{ikr}}{z}$$

于是
$$\begin{gathered} {?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (?\hat{z},\hat{r})?\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA \\ \propto {?}_A{e}^{ik(r_S+r)}dA \end{gathered}$$

綜上，在近軸近似下，光學(xué)系統(tǒng)滿足
$$E_p\propto {?}_A{e}^{ik(r_S+r)}dA$$

這個(gè)結(jié)果被稱為Fresnel Diffraction。

夫瑯禾費(fèi)衍射

現(xiàn)在不考慮近軸近似，但假設(shè)觀察尺度遠(yuǎn)超過(guò)電磁波的尺度，以至于在Aperture附近與觀察者的位置附近，光的波前都可以近似為平面，這種衍射就是遠(yuǎn)場(chǎng)(far-field)衍射或者Fraunhofer衍射。

那么多遠(yuǎn)才夠的上far-field呢？我們可以嘗試推導(dǎo)可以將球面波近似為平面波的條件

要使球面波近似為平面波，那么原來(lái)的球面波到達(dá)Aperture上各點(diǎn)的最大相位差必須遠(yuǎn)小于一個(gè)周期，也就是最大光程差要遠(yuǎn)小于一個(gè)波長(zhǎng)，那么
$$\begin{gathered} r_S?z_S<<\lambda \\ \sqrt{z_S^2+D^2/4}?z_S<<\lambda \\ {z}_S>>\frac{D^2}{2\lambda } \end{gathered}$$

這就是光源到Aperture的距離應(yīng)該滿足的遠(yuǎn)場(chǎng)條件；同理，觀察者距離Aperture的距離也要滿足
$$z>>\frac{D^2}{2\lambda }$$

比如單孔衍射中孔徑為$D=5mm$，光的波長(zhǎng)為$\lambda =500nm$，那么
$$\frac{D^2}{2\lambda }=25m$$

也就是說(shuō)用這兩個(gè)參數(shù)做衍射實(shí)驗(yàn)，觀察者要到遠(yuǎn)超25米外的位置上才有可能觀察到夫瑯禾費(fèi)衍射。顯然這在實(shí)驗(yàn)室中可操作性太低了，所以通常選擇用凸透鏡在Aperture前得到平行光，再在觀察者前用凸透鏡讓平行光聚焦觀察衍射現(xiàn)象。

總結(jié)

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