物理光學11 衍射的基本概念與惠更斯原理

• • Huygens-Fresnel原理
  • 菲涅耳衍射
  • 夫瑯禾費衍射

衍射（Diffraction）是光“繞開”障礙物傳播的現象，也叫繞射。幾何光學認為光在均勻介質中沿直線傳播，所以繞射有悖于幾何光學對光路的預測。但繞射的原理其實也很好理解，光既然是一種波，我們可以用聲波來類比它，波前上任一點都可以是一個源，產生出新的波形繼續向外傳播（其實就是惠更斯原理的思想），因此“繞開”障礙物的光相當于是波前上的點“衍生”出來的，這就是把這種現象叫做衍射的理由。另外，這里對于衍射的簡單解釋前提是光是一種電磁波，所以衍射被歸在物理光學中。

Huygens-Fresnel原理

用$S$表示某個點光源，它的電場強度為$E_S$，它發出的光沿$z$方向傳播，距離$S$為$z_S$的位置有一個Aperture，距離Aperture為$z$的位置有一個觀察者$P$，根據電偶極子radiation的結論，對于Aperture上距離$S$為$r_S$的點$Q$，
$$E_Q=\frac{E_S}{r_S}{e}^{ik{r}_S}$$

根據惠更斯原理，點$Q$可以看成一個新的點光源，記$|PQ|=r$，則繼續使用radiation的結論，點$Q$傳播到$P$處時，電場為
$$\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}$$

假設Aperture的透光部分面積為$A$，則$P$點處的觀察者看到的光就是面積分
$$E_P={?}_A\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}dA=E_S{?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}dA$$

這就是根據光的波動說結合關于描述波的傳播的惠更斯原理得到的一個直觀結果（很難用于實際計算），在Fresnel等人的衍射實驗證明了光的傳播確實可以存在繞射行為以后，這個結果才逐漸被人接受。

菲涅耳衍射

假設$A$的尺度遠大于光的波長，并且觀察距離$z$遠大于波長，比如照相機的孔相比于光的波長就是超級大的，照相機與攝影對象的物理之間的距離與波長相比也是超級大的，則用Maxwell方程也可以導出$P$處的電場
$$E_p\propto \frac{i}{\lambda }{?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (?\hat{z},\hat{r})?\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA$$

可以發現惠更斯原理與Maxwell方程得到的結果基本匹配，因為在paraxial approximation下，
$$\cos (?\hat{z},\hat{r})\approx 1,\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)\approx =?1$$

Fresnel認為觀察距離$z$也是遠大于$A$的尺度的，所以
$$\frac{e^{ik{r}_S}}{r_S}\approx \frac{e^{ik{r}_S}}{z_S},\frac{e^{ikr}}{r}\approx \frac{e^{ikr}}{z}$$

于是
$$\begin{gathered} {?}_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (?\hat{z},\hat{r})?\cos (?\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA \\ \propto {?}_A{e}^{ik(r_S+r)}dA \end{gathered}$$

綜上，在近軸近似下，光學系統滿足
$$E_p\propto {?}_A{e}^{ik(r_S+r)}dA$$

這個結果被稱為Fresnel Diffraction。

夫瑯禾費衍射

現在不考慮近軸近似，但假設觀察尺度遠超過電磁波的尺度，以至于在Aperture附近與觀察者的位置附近，光的波前都可以近似為平面，這種衍射就是遠場(far-field)衍射或者Fraunhofer衍射。

那么多遠才夠的上far-field呢？我們可以嘗試推導可以將球面波近似為平面波的條件

要使球面波近似為平面波，那么原來的球面波到達Aperture上各點的最大相位差必須遠小于一個周期，也就是最大光程差要遠小于一個波長，那么
$$\begin{gathered} r_S?z_S<<\lambda \\ \sqrt{z_S^2+D^2/4}?z_S<<\lambda \\ {z}_S>>\frac{D^2}{2\lambda } \end{gathered}$$

這就是光源到Aperture的距離應該滿足的遠場條件；同理，觀察者距離Aperture的距離也要滿足
$$z>>\frac{D^2}{2\lambda }$$

比如單孔衍射中孔徑為$D=5mm$，光的波長為$\lambda =500nm$，那么
$$\frac{D^2}{2\lambda }=25m$$

也就是說用這兩個參數做衍射實驗，觀察者要到遠超25米外的位置上才有可能觀察到夫瑯禾費衍射。顯然這在實驗室中可操作性太低了，所以通常選擇用凸透鏡在Aperture前得到平行光，再在觀察者前用凸透鏡讓平行光聚焦觀察衍射現象。

總結

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