量子力學 一 基礎6 厄爾米特算符的相容性

• • 相容性
  • 用相容算符做譜分解

相容性

態空間$H$中的厄爾米特算符$A$的本征子空間為$W_{c_j}$且滿足
$$H={\oplus }_{j=1}^M{W}_{c_j}$$

算符$A$的譜$c_j$與本征子空間$W_{c_j}$是一一對應的，如果$n>M$，則至少有一個本征子空間的維數大于1，也就是存在至少一個本征值對應兩個或多個互不干涉的本征態。但是我們希望關于算符$A$的分解滿足本征值與本征態也是一一對應的，但是當$n>M$時，只用算符$A$本身沒有辦法做到這種分解，所以需要引入另一個厄爾米特算符。

假設$A,B$都是態空間$H$上的厄爾米特算符，且它們是對易的(commutable)，即$$AB=BA$$

則稱$A,B$相容(compatible)。對于$A$的本征值$a$，如果
$$A|\alpha ?=a|\alpha ?$$

則
$$\begin{gathered} BA|\alpha ?=Ba|\alpha ?=a(B|\alpha ?) \\ BA|\alpha ?=AB|\alpha ?=a(B|\alpha ?) \end{gathered}$$

所以$B|\alpha ?$也是對應于本征值$a$的本征態。

用相容算符做譜分解

假設$B$的本征值為$\{b_j{\}}_{j=1}^L$，本征子空間為$W_{b_j}$，從$H$到$W_{b_j}$的投影算符為$Q_j$，則$B$的譜分解為
$$B=\sum _{j=1}^L{b}_j{Q}_j$$

其中
$$\sum _{j=1}^L{Q}_j=I$$

所以
$$I=II=(\sum _{j=1}^L{Q}_j)(\sum _{i=1}^M{P}_i)=\sum _j\sum _i{Q}_j{P}_i$$

注意到因為$A,B$是對易的，對所有的$Q_j,P_i$也是對易的，記$E_{j,i}=Q_j{P}_i$，則
$$I=\sum _j\sum _i{E}_{j,i}$$

此時算符$A,B$的分解為
$$A=\sum _{j,i}{c}_i{E}_{j,i},B=\sum _{j,i}{b}_j{E}_{j,i}$$

這種分解比$\{P_i\}$更細，所以對$A$的本征子空間$W_{c_i}$，可以用$\{Q_j\}$進一步分解
$$Q_j{W}_{c_i}=Q_j{P}_{i}H=E_{j,i}H$$

如果$L+M<n$，也就是依然存在某個本征子空間有兩個或多個互不干涉的本征態，我們可以再找一個與$A,B$都相容的算符繼續做分解，直到把態空間分解為若干只含一個本征態的子空間的直和。

總結

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