量子力學 一 基礎7 酉算符與Campbell公式

• • 酉算符的本征值與本征態
  • Hausdorff-Campbell公式

酉算符對應于線性代數中的酉變換，它不會改變態的尺度，可以維持內積結果不變，是一種保距運算。酉算符的定義是
$$U^{?}U=U{U}^{?}=I$$

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酉算符的本征值與本征態

考慮$$U|u?=u|u?$$

根據酉算符的定義
$$\begin{gathered} ?u|u?=?u|I|u?=?u|U^{?}U|u?=(U|u?,U|u?) \\ =(u|u?,u|u?)=u^{?}u?u|u??u^{?}u=1 \end{gathered}$$

也就是說酉算符的本征值一定是模為1的復數，可以把它表示為$e^{i\lambda },\lambda \in \mathbb{R}$

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引理 如果$N=N^{?}$，且$N{N}^{?}=N^{?}N$，就稱$N$為正規矩陣(normal matrix)，定義
$$A=\frac{N+N^{?}}{2},B=\frac{N?N^{?}}{2i}$$

則$A,B$相容。可以$A,B$同時對角化，得到的譜分解為
$$A=\sum _{j,k}{a}_k{Q}_j{P}_k,B=\sum _{j,k}{b}_j{Q}_j{P}_k$$

代入$A,B$定義可以反解出$N$的譜分解為
$$\begin{gathered} N=\sum _{j,k}(a_k+i{b}_j)Q_j{P}_k \\ {N}^{?}=\sum _{j,k}(a_k?i{b}_j)Q_j{P}_k \end{gathered}$$

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因為酉算符是正規的，所以$U$是可以做譜分解的，記
$$G=diag({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$$

則$U～e^{iG}$，其中
$$e^{iG}=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{iG}{x}{)}^x$$

稱$iG$為$U$的infinitesimal generator。

Hausdorff-Campbell公式

假設$A,B$是態空間$H$上的兩個算符，則對$s\in \mathbb{R}$，考慮
$$e^{iBs}A{e}^{?iBs}$$

記$F=iB$，引入對易括號

$$[F,A]=FA?AF$$

在$s=0$附近做Taylor展開，
$$\begin{gathered} e^{iBs}A{e}^{?iBs}=e^{Fs}A{e}^{?Fs} \\ =A+s[F,A]+\frac{s^2}{2!}[F,[F,A]]+\frac{s^3}{3!}[F,[F,[F,A]]]+? \end{gathered}$$

這個公式被稱為Campbell公式，它的作用是基底變換時做算符的運算。

總結

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