量子力學 一 基礎8 經典概率與量子概率

• • 經典概率
  • 量子概率
  • • 不存在干涉時，量子概率可以用經典概率解釋
    • 存在干涉時，量子概率無法用經典概率解釋

經典概率

相信大家對經典概率論是非常熟悉的，按Kolmogorov的公理化定義，首先引入可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，$\Omega$是非空集合，表示狀態空間；$\mathcal{F}$是事件空間，也是狀態空間的一個$\sigma$-代數；引入$P$，一個自變量為集合的函數，它把集合映射成一個數值。對于可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，如果$P:\mathcal{F}\to {\mathbb{R}}^{+}$是一個測度，即

$P(?)=0$

$?A\in \mathcal{F},P(A)\ge 0$

$?A_i\in \mathcal{F},i=1,?,n$, $P({?}_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$

且如果$P(\Omega )=1$，滿足$\sigma$-可加性，就稱$P$為概率測度，或簡稱概率；稱$(\Omega ,\mathcal{F},P)$為概率空間或者一個概率模型。

狀態空間也就是試驗中所有可能結果的集合，以toss a coin的試驗為例，狀態空間為$\Omega =\{H,T\}$，$H$表示數字朝上；toss n coins的狀態空間可以表示為${\Omega }^n$。

$\mathcal{F}$表示toss coins的所有可能的事件（$\Omega$的所有子集，也就是在一個事件中，有限種結果同時發生、另一些結果不發生），比如對于toss a coin，$\mathcal{F}=\{?,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$，分別表示既不是正面也不是反面、正面、反面、既是正面也是反面這四個事件，顯然第一個和第四個事件概率為0。$\mathcal{F}$中的事件的概率測度可以基于$P(H)=P(T)=1/2$進行計算。這個例子說明概率公理化定義的實踐就是把概率空間的三個要素準確定義出來，而概率空間中的不確定性則是來源于概率測度$P$，而$P$是由試驗本身的性質決定的，只有天知道它的表達式是什么，但當我們獨立重復足夠多次試驗后可以用統計方法對$P$進行推斷。

量子概率

量子概率不是很容易用公理化的形式解釋，我們從一個例子開始。考慮一個線性偏振光源，它發出在豎直方向偏振的光，記偏振狀態為$|v?$，在線性偏振光傳播方向上放一塊偏振片，它與豎直方向呈$\theta$的角度，記它的位置狀態為$|\theta ?$。

不存在干涉時，量子概率可以用經典概率解釋

如果只發出一個光子，我們只能觀察到它能通過/不能通過偏振片這兩種可能的結果，其中它能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，被偏振片吸收的概率為${\sin }^2\theta$；將偏振片旋轉一下，變為$|\theta +\frac{\pi }{2}?$（也就是與之前的位置狀態垂直，這兩種位置狀態不會產生干涉），則此時光子能通過偏振片的概率為${\cos }^2(\theta +\frac{\pi }{2})={\sin }^2\theta$。

按平行四邊形法則分解$|v?$，可以得到
$$|v?=(\cos \theta )|\theta ?+(\sin \theta )|\theta +\frac{\pi }{2}?$$

關于這個式子的解讀如下：

$|v?$表示光源的偏振態，$|\theta ?$與$|\theta +\frac{\pi }{2}?$表示在上述偏振系統（也就是測量）中可以被觀察者觀察到的兩種偏振態，因此光源的偏振態實際上是這兩種可以被觀察到的偏振態的疊加，并且可以被觀察到的偏振態會受到測量的影響；

分解的系數$\cos (\theta )$與$\sin (\theta )$表示這兩種可以被觀察到的偏振態的probability amplitude，它們不是概率，它們的平方才表示每個偏振態被觀察到的概率；

在光源發出的一個光子被測量前，它的偏振態就是$|\theta ?$與$|\theta +\frac{\pi }{2}?$的疊加，但它被測量后，它的偏振態要么是$|\theta ?$，要么是$|\theta +\frac{\pi }{2}?$，在量子力學中，這被稱為態的坍縮(collapse)

與經典概率拋硬幣的試驗不一樣的是，每次獨立重復試驗中，被拋的硬幣可以是同一個（雖然觀察記錄下硬幣正反面的時候也發生了態的坍縮，但當我們重新準備拋到拋完進行觀察之前，硬幣的態又恢復成了疊加的形式），而光子的偏振態在坍縮后是不能復原的，所以即使發出多個光子進行重復觀察，每一次的光子也都是不一樣的

計算$|v?$與自身的內積（注意$?\theta |\theta +\frac{\pi }{2}?=0$）
$$\begin{gathered} 1=?v|v?=({\cos }^2\theta )?\theta |\theta ?+({\sin }^2\theta )?\theta +\frac{\pi }{2}|\theta +\frac{\pi }{2}? \\ ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{gathered}$$

可以驗證在這種情況下，光子被觀察到的概率模型完全符合Kolmogorov公理（歸一性，非負性，可加性）。

存在干涉時，量子概率無法用經典概率解釋

如果只發出一個光子，我們只能觀察到它能通過/不能通過偏振片這兩種可能的結果，其中它能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，被偏振片吸收的概率為${\sin }^2\theta$；將偏振片旋轉一下，變為$|\alpha ?$（$0<|\alpha ?\theta |<\pi /2$，也就是它與之前的位置狀態$\theta$內積不為0，二者會互相干涉）。

因為$|\theta ?$與$|\alpha ?$線性無關，所以我們還是可以把光源的偏振態分解，即存在常數$a,b$使得
$$|v?=a|\theta ?+b|\alpha ?$$

計算$|v?$與自身的內積：
$$\begin{gathered} 1=?v|v? \\ =a^2?\theta |\theta ?+a^{?}b?\theta |\alpha ?+b^{?}a?\alpha |\theta ?+b^2?\alpha |\alpha ? \\ =a^2+b^2+\underset{Interference}{a^{?}b?\theta |\alpha ?+b^{?}a?\alpha |\theta ?} \end{gathered}$$

這時就會多出干涉項，導致量子概率與經典概率不同。

總結

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